题型一 利用归纳推理求解相关问题
例1 如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴…，则第2 014个图形用的火柴根数为________.
破题切入点 观察图形的规律，写成代数式归纳可得.
答案 3 021×2 015
解析 由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1;
第2个图形需要火柴的根数为3×(1+2);
第3个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3);
……
由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3+…+n).
所以第2 014个图形所需火柴的根数为3×(1+2+3+…+2 014)
=3×=3 021×2 015.
题型二 利用类比推理求解相关问题
例2 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2=a2+b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有________.
破题切入点 由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比.
答案 S2=S+S+S
解析 建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2=S+S+S.
总结提高 (1)归纳推理的三个特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围;
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具;
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题.
(2)类比推理的一般步骤
①定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
②推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;
③检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.
1.已知x>0，观察不等式x+≥2=2，x+=++≥3=3，…，由此可得一般结论：x+≥n+1(n∈N*)，则a的值为________.
答案 nn
解析 根据已知，续写一个不等式：
x+=+++≥4=4，由此可得a=nn.
2.在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若=λ+μ，则λ+μ=1;类似地，如果点O是空间内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若=x+y+z，则x+y+z=________.
答案 -1
解析 在平面内，由三角形法则，得=-，=-.
因为A，B，C三点共线，
所以存在实数t，使=t，
即-=t(-)，
所以=-+(+1).
因为=λ+μ，
所以λ=-，μ=+1，
所以λ+μ=1.
类似地，在空间内可得=λ+μ+η，λ+μ+η=1.
因为=-，所以x+y+z=-1.
3.观察下列各式：55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125，…，则52 014的末四位数字为________.
答案 5625
解析 由观察易知55的末四位数字为3125,56的末四位数字为5625,57的末四位数字为8125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125，故周期T=4.又由于2 014=503×4+2，因此52 014的末四位数字是5625.
4.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=________.
答案 123
解析 记an+bn=f(n)，则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;
f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;
f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;
f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;
f(10)=f(8)+f(9)=123，即a10+b10=123.
5.已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________.
答案 正四面体的内切球的半径是其高的
解析 设正四面体的每个面的面积是S，高是h，内切球半径为R，
由体积分割可得：SR×4=Sh，
所以R=h.
6.观察下列等式：
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为______________.
答案 (n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n-1).
7.(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为=n2+n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)=n2+n，
正方形数 N(n,4)=n2，
五边形数 N(n,5)=n2-n，
六边形数 N(n,6)=2n2-n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)=________________________________________________________________________.
答案 1 000
解析 由N(n,4)=n2，N(n,6)=2n2-n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)=n2+n，
∴N(10,24)=×100+×10=1 100-100=1 000.
8.两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α+sin(α+)+sin(α+)=0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________________________.
答案 sin α+sin(α+)+sin(α+π)+sin(α+)=0
解析 由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α+π的终边互为反向延长线，α+与α+的终边互为反向延长线
