一、选择题
1.下列命题正确的个数为( ).
经过三点确定一个平面;
梯形可以确定一个平面;
两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 错误，正确.
答案 C
2.若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是( ).
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、异面或相交
解析 经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.
答案 D
3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为( )
A.5部分 B.6部分
C.7部分 D.8部分
解析 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分.
C
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是( ).
A.A1、M、O三点共线 B.M、O、A1、A四点共面
C.A、O、C、M四点共面 D.B、B1、O、M四点共面
解析 因为O是BD1的中点.由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确;又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确.
答案 D.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( ).
A.ABCD
B.AB与CD相交
C.ABCD
D.AB与CD所成的角为60°
解析 如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确.正确选项为D.图(b)中，DEAB，CDE为AB与CD所成的角，CDE为等边三角形，CDE=60°.
答案 D
.如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是( ).A.ACSB
B.AB平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析 选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD;再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD;而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是ASO，SC与平面SBD所成的角就是CSO，易知这两个角相等.选项D错误，AB与SC所成的角等于SCD，而DC与SA所成的角是SAB，这两个角不相等.
答案 D
二、填空题
.已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：
两条平行直线;两条互相垂直的直线;同一条直线;一条直线及其外一点.
在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).
解析 只有当ab时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故错，其余都有可能.
答案
8. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
直线AM与CC1是相交直线;
直线AM与BN是平行直线;
直线BN与MB1是异面直线;
直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误.
答案 .如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将△ABD沿对角线 BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰 好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________.
解析 如题图所示，
由A′O⊥平面ABCD，
可得平面A′BC⊥平面ABCD，
又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，
即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.
答案 90°
.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.
解析 法一 在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.
法二 在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交.
答案 无数三、解答题
. 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?
(1)证明 由已知FG=GA，FH=HD，可得GH綉AD.
又BC綉AD，GH綉BC，四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，
四边形BEFG为平行四边形，EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，EF∥CH，EF与CH共面.
又DFH，C、D、F、E四点共面.
.在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上.
(1)过P点在空间作一直线l，使l直线BD，应该如何作图?并说明理由;
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α，这样的直线有几条，应该如何作图?
解 (1)连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线，如图(a).
B1D1∥BD，lB1D1，l∥直线BD.
图(a)
(2)BD∥B1D1，直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图(b).由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α.
当α=时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条.
图(b).如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BGGC=DHHC=12.
(1)求证：E、F、G、H四点共面;
(2)设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线.
证明 (1)ABD中，E、F为AD、AB中点，
EF∥BD.
△CBD中，BGGC=DHHC=12，
GH∥BD，EF∥GH(平行线公理)，
E、F、G、H四点共面.
(2)FG∩HE=P，PFG，PHE，
P∈直线AC.
P、A、C三点共线.
.在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积;
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解 (1)在四棱锥P-ABCD中，
PO⊥面ABCD，
PBO是PB与面ABCD所成的角，即PBO=60°，在RtPOB中，
BO=AB·sin 30°=1，
又POOB，PO=BO·tan 60°=，
底面菱形的面积S菱形ABCD=2.
四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×2×=2.
(2)取AB的中点F，连接EF，DF，
E为PB中点，EF∥PA，
DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).在RtAOB中，
AO=AB·cos 30°==OP，
在RtPOA中，PA=，EF=.
在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，
cos∠DEF====.
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
