一、选择题
1.若函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 ( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( ).
A.(-1,2) B.(-∞，-3)(6，+∞)
C.(-3,6) D.(-∞，-1)(2，+∞)
解析 f′(x)=3x2+2ax+(a+6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)=0有两个不相等的实数根，所以Δ=4a2-4×3(a+6)>0，解得a<-3或a>6.
答案 B
.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y=x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是( ).
A.f(1)与f(-1) B.f(-1)与f(1)
C.f(-2)与f(2) D.f(2)与f(-2)
解析 由图象知f′(2)=f′(-2)=0.x>2时，y=x·f′(x)>0，f′(x)>0，y=f(x)在(2，+∞)上单调递增;同理f(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，
y=f(x)的极大值为f(-2)，极小值为f(2)，故选C.
答案 C.设aR，函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )
A.ln2 B.-ln2
C. D.
解析 f′(x)=ex-ae-x，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f′(0)=0，故只能是a=1.此时f′(x)=ex-e-x，设切点的横坐标是x0，则ex0-e-x0=，即2(ex0)2-3ex0-2=0，即(ex0-2)(2ex0+1)=0，只能是ex0=2，解得x0=ln2.正确选项为A.
A
5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，cR).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f(x)的图象是( ).解析 若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a=c.因选项A、B的函数为f(x)=a(x+1)2，则[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=a(x+1)(x+3)ex，x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件;选项C中，对称轴x=->0，且开口向下，a<0，b>0，f(-1)=2a-b<0，也满足条件;选项D中，对称轴x=-<-1，且开口向上，a>0，b>2a，f(-1)=2a-b<0，与图矛盾，故答案选D.
答案 D
.已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1，x2，且x1[-2，-1]，x2[1,2]，则f(-1)的取值范围是( ).
A. B.
C.[3,12] D.
解析 因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)=3x2+4bx+c=0有两个根x1，x2，且x1[-2，-1]，x2[1,2]，所以即
画出可行域如图所示.因为f(-1)=2b-c，由图知经过点A(0，-3)时，f(-1)取得最小值3，经过点C(0，-12)时，f(-1)取得最大值12，所以f(-1)的取值范围为[3,12].
答案 C
