一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )
A. B. C.2+ D.1+
解析：由题意可得斜二测直观图中等腰梯形的下底为+1.据斜二测画法规则可知原平面图形为直角梯形，上底为1，下底为+1，高为2，所以其面积为2+.
答案：C
2.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为( )
解析：由题知该几何体为组合体，上方为四棱锥，下方为正方体，四棱锥顶点在底面上的射影为正方体一边上的中点，结合答案可知，选B.
答案：B
3.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )
A.π?6 B.π?2 C.π?2 D.5π?12
解析：正方体底面的中心即球的球心，设球的半径为R，正方体的棱长为a，则有R2=a2+2，得R2=a2，所以半球的体积与正方体的体积之比为πR3?a3=π?2.
答案：B
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.mα，nβ，且αβ，则mn
B.mα，nβ，且αβ，则mn
C.mα，nβ，mn，则αβ
D.mα，nα，mβ，nβ，则αβ
解析：对于A，m，n的位置关系应该是平行、相交或异面，故A不正确;对于B，由面面垂直及线面垂直的性质知，mn，故B正确;对于C，α与β还可以平行或相交，故C不正确;对于D，α与β还可以相交，所以D不正确.故选B.
答案：B
5.如图，E，F分别是三棱锥P-ABC的棱PA，BC的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析：取AC的中点G，连接EG，FG，则EG=5，FG=3，且EGF或其补角为异面直线AB与PC所成的角，因为cosEGF==-，所以EGF=120°，异面直线AB与PC所成的角为60°，选C.
答案：C
6.在四边形ABCD中，ADBC，AD=AB=1，BCD=45°，BAD=90°.将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，则下列说法正确的是( )
A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BDC
C.平面ABC平面BDC D.平面ADC平面ABC
解析：如图，由题意知，CDBD，因为平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，所以CDAB，CDAD，所以AC==，从而BC2=AB2+AC2，所以ABAC，所以AB平面ADC，平面ABC平面ADC.
答案：D
7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
解析：由三视图知该几何体是圆锥的一部分，由正视图、俯视图可得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，故该几何体的体积V=××π×22×4=π.
答案：B
8.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，易得AE平面BB1C1C，故ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1，则AE=，DE=，tanADE===，故ADE=60°，故选C.
答案：C
9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P1，P2分别为线段AB，BD1(不包括端点)上的动点，且线段P1P2平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
解析：如图，过点P2作P2O底面ABCD于点O，连接OP1，则OP1AB，即OP1为三棱锥P2-P1AB1的高.设AP1=x,0 答案：A 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，ACB=90°，M是AA1的中点，则二面角B-C1M-A1的余弦值为( ) A. B.- C. D.- 解析：方法一 作CEC1M交C1M于点E，连接BE，则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，BE⊥C1M，BEC为二面角B-C1M-A1的补角.连接CM，在等腰三角形CMC1中，C1M==，CE==，tan∠BEC==，cos∠BEC=.又二面角B-C1M-A1与BEC互补，故二面角B-C1M-A1的余弦值为-. 方法二 以点C为原点，分别以CB，CA，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(0,0,2)，M(0,2，)，可知=(2,0,0)是平面C1A1M的一个法向量.设m=(x1，y1，z1)是平面BMC1的法向量，可得 即，令y1=1，得m=(2,1，)，则|cos〈，m〉|==. 又因为二面角B-C1M-A1是钝角，所以所求余弦值为-. 答案：B 二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上) 11.在三棱锥P-ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，则三棱锥的外接球的表面积为________. 解析：由题知，三棱锥P-ABC的外接球的直径为=，则球的表面积为4π2=14π. 答案：14π 12.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP=，过点P，M，N的平面交CD于点Q，则PQ=________. 解析：连接AC，易知MN平面ABCD，MN∥PQ.又MNAC，PQ∥AC.∵AP=，===，PQ=AC=a. 答案：a 13.如图，在底面ABC为正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，AB=2，AA1=1，点P在四边形B1BCC1外，且在侧面B1BCC1所在的平面上，PB1=PC1=，则三棱锥P-ABC的体积为________. 解析：因为侧面B1BCC1底面ABC，点P在平面B1BCC1内，PB1=PC1=，B1C1=2，所以点P到平面A1B1C1的距离为1，故点P到平面ABC的距离为2.因为SABC=，所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=××2=. 答案： 14.已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB=120°，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为________. 解析：S△AOC+SBOC=r2(sinAOC+sinBOC)，当AOC=BOC=90°时，SAOC+SBOC取得最大值，此时OAOC，OBOC，OC⊥平面AOB，VO-ABC=VC-OAB=OC·OA·OBsinAOB=. 答案： 15.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知A′DE(A′∉平面ABC)是ADE沿DE翻折过程中的一个图形，给出下列命题： 平面A′FG平面ABC; 三棱锥A′-DEF的体积的最大值为a3; 动点A′在平面ABC内的射影恒在线段AF上;直线DF与平面A′FG所成的角为60°. 其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号) 解析：由已知可得四边形ADFE是菱形，则DEGA，DEGA′，DEGF，所以DE平面A′FG，所以平面A′FG平面ABC，正确;当平面A′DE平面ABC时，三棱锥A′-DEF的体积达到最大，最大值为××a2×a=a3，正确;由平面A′FG平面ABC，可知点A′在平面ABC内的射影恒在线段AF上，正确;在播折过程中，DF与平面A′FG所成的角为DFG=30°，不正确.
