二、解答题
1、【解析】(Ⅰ).
( i )当时，则当时，;当时，
故函数在单调递减，在单调递增.
( ii )当时，由，解得：或
①若，即，则，
故在单调递增.
②若，即，则当时，;当时，
故函数在，单调递增;在单调递减.
③若，即，则当时，;当时，;
故函数在，单调递增;在单调递减.
(Ⅱ)(i)当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递减，在单调递增.
又∵，取实数满足且，则
∴有两个零点.
(ii)若，则，故只有一个零点.
(iii)若，由(I)知，当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点;
当，则函数在单调递增;在单调递减.又当时，，故不存在两个零点.
综上所述，的取值范围是.
2、解析：(I).当时，
，
所以曲线在处的切线方程为
(II)时，等价于
令，
则，
(i)当，时， ，
故在上单调递增，因此;
(ii)当时，令得，
由和得，
故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
3、【答案】(I)当时，没有零点;当时，存在唯一零点.(II)见解析
【解析】(I)的定义域为，.
当时,，没有零点;
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.
(II)由(I)，可设在的唯一零点为，当时，;
当时，.
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，.
4、解：(Ⅰ)因为，， 2分
，即，解得. 3分
，显然在单调递增且，
故当时，;当时，.
所以的递减区间为，递增区间为. 5分
时，由(Ⅰ)知，当时，取得最小值.
又的最大值为，故. 7分
时，设，
所以， 8分
，，
则，
当时，,，所以，…………………………….9分时，，，所以，……….……………….10分时，，故在上单调递增，
又 ，所以当时，;
当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，即. 11分
时，. 12分.
当，
6分
时，，所以， 7分在上单调递减，即.
8分②当时，
令
则，
所以在上单调递 9分在上单调递，
所以在上单调递，即.
故当时，恒成立. 10分
当，
所以， 11分
，所以.
综合(1)(2)，当. 12分 5分
，则，
令,得， 6分
时，时，
所以在上单调递减，在单调递增， 分所以 9分，所以即 10分
，，
所以 12分
解：()，依题意，设切点为， 1分
即
解得 3分
所以，
所以，当时，;当时，.
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为. 5分
()令，
则，
令，则， 7分
()若，
因为当时，，所以，
所以即在上单调递增.
又因为，所以当时，，
从而在上单调递增，
而，所以，即成立. 9分
()若，
令，解得，
当，，所以即在上单调递减，
又因为，所以当时，，
从而在上单调递减，
而，所以当时，，即不成立.
综上所述，的取值范围是. 12分
6、【解析】(Ⅰ) ， (Ⅱ)由(Ⅰ)得， ①当时，由得;由得. 此时在上单调递减，在上单调递增. ， 要使得在上有且只有两个零点， 则只需，即 ②当时，由得或;由得.此时在上单调递减，在和上单调递增. 此时 ， 此时在至多只有一个零点，不合题意 ③当时，由得或，由得， 此时在和上单调递增，在上单调递减，且，在至多只有一个零点，不合题意 综上所述，的取值范围为
7、解法一：(Ⅰ)的定义域为，， ……………………………2分
由题设知 ，解得 . ……………………………3分
(Ⅱ)，
令，显然是增函数，
所以存在唯一零点，
当时，，即;
当 时，，即;
从而在处取得最小值，
又，，…………8分
，
………………10分
， ， ……………………11分
从而，故. ………………………12分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)当时，，又，所以. …………4分
当时，，又，所以，
故只需证明当时，. ……………………………5分
当时，在上单调递增， ……………6分
又， ……………………7分
所以函数存在唯一的零点，且 ……………8分
当时，;当 时，;
从而在处取得最小值，又……9分
所以，…11分
因为，所以，从而，
故. ………………………………………………12分
解法三：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)令，则
因为，所以
所以在上单调递增， ………………………4分
又，………6分
所以函数存在唯一的零点，且………………7分
当时，，即;
当 时，，即;
从而在处取得最小值，又……8分
所以，…10分
因为，所以 ……………………11分
从而，故. ………………………12分
8、(Ⅰ)解设的图象交于点，则有，即 (1)
又由题意知，即 (2)…………2分
由(2)解得
将代入(1)整理得…………4分
令，则
时，递增，时递减，所以，即，的最大值为 …………6分(Ⅱ)不妨设，变形得
令，，，
所以 在单调增，，成立…………10分同理可证时,命题成立 , 对任意，，成立……12分
,由,得,当时,.
单调递减 单调递增 故时, 是函数的极值点.
(2)依题意,,,
且.依题意, 有两个不等根, 故.
.
记,因为在恒成立, 所以在上单调递增, ,故欲证,等价于证.即证,记,可得,
单调递减 单调递增 所以，.
10、解：(Ⅰ)依题意，.…………2分
因为在处切线与直线垂直，所以.
解得. …………4分
(Ⅱ)依题意，“对任意，”等价于“在上恒成立”.
令，则. …………5分
(1)时，，在上单调递减，
又，不合题意，舍去. …………6分
(2)当时，得.
单调递减 单调递增 …………8分
①当，即时，在上单调递增，得，
由在上恒成立，得，即，
又，得.…………10分
②当，即时，由上表可知，由在上恒成立，得，即.
令，则.由得或(舍去)，
单调递增 单调递减 由上表可知在上单调递增，则，故不等式无解.综上所述，.…………12分
11、解：函数，.
(Ⅰ)当时，，.
所以.
所以曲线在点处的切线，
即. -------------------------------------------……… 4分
(Ⅱ) .
设，.
当时，在上恒成立，即函数在上为增函数.
而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点;---------------- -------------------------------7分
(2)当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，
故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值;----------9分
3)当时，.
当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值.------------------------------ ---------11分
综上所述. ----------------------------------------------12分
12、解法一：(Ⅰ)由已知可得，则或，
而当与条件不符(舍去)，∴. ………………2分
所以，，
从而，，
故切线的方程为：， ………………4分
与坐标轴的交点分别为，，
所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. …………6分
(Ⅱ)对于，
当时，;当时，，当时，.
∴在上递减，在递增，故.………8分
又，令，则，
从而，即. ………………10分
故，但与不同时取得最值，
所以上式等号不同时成立，即成立. ……………12分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)对于，当时，;
当时，，当时，.
∴在上递减，在递增，故. ………8分
令，则，
当时，;当时，;当时，.
∴在上递增，在递减，
故，即，
即. ………………10分
故，但与不同时取得最值，
所以上式等号不同时成立，即成立. ………………12分
13、解：(Ⅰ)函数定义域为
， …………………………………………………………1分
因为，，所以存在使得 ……4分
令
则，所以在上单调递增， ………………5分
故在区间有且仅有一个零点. ………………………………………6分
(Ⅱ)由(1)可知
当时，即，此时单调递减;
当时，即，此时单调递增;
所以 …………………………………8分
由得，
所以 ………10分
令，则
所以在区间内单调递减，所以 …………………………11分
所以. ………………………………………………12分
14、【】(Ⅰ)当时，，,.-------------------------------------------------2分
所以曲线在点处的切线方程为，即.(Ⅱ)设，.
则，
当时，在上单调递增，
所以，对任意，有，.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由条件知，，即设，则所以在上单调递减，又，所以与条件矛盾.综上可知，.()，
，. ………………… 3分
(Ⅱ)，
设，，
由，在上单调递增，
，在上单调递增，.
. ………………… 7分
(),，，
由(Ⅱ)，，
， …………………9分
①当即时，，在单调递增，，成立. …………………10分
②当即时，
，令，得，
当时，单调递减，则，在上单调递减，不成立.…………………11分
综上，. …………………12分
16、解：(1)函数的的导数，
过点的切线斜率为2，
，解得.
令，
则函数的导数.
令，即，解得.
在上递减，在上递增.
最小值为.
故成立.
令，则，
令，解得.
当时，在是增函数，所以.
当时，在上递增，上递减，
只需，即.
当时，在上递减，则需.
不合题意.
综上，.
