12.已知函数f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.
(1)若函数f(x)的图象过点E，F，求函数f(x)的解析式;
(2)如图，点M，N是函数y=f(x)的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上一点P满足·=，求函数f(x)的最大值.
命题立意：本题考查三角函数的恒等变换、平面向量的相关内容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式等知识.对于第(1)问，根据函数f(x)的图象过点E，F建立方程组，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，从而可得函数解析式;对于第(2)问，一种方法是先求出点M，N的坐标，再利用·=，即可求出函数f(x)的最大值;另一种方法是过点P作PC垂直x轴于点C，利用·=，求得||=，从而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函数f(x)图象上，即可求得函数f(x)的最大值.
解析：(1) 函数f(x)的图象过点E，F，
∴ sin=sin，
展开得cos θ+sin θ=.
cos θ=sin θ，tan θ=，
θ∈， θ=，
函数f(x)=Asin，
f=，
A=2.
f(x)=2sin.
(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 点M，N分别位于y轴两侧，则可得M，N，
=，=，
·==， +t=，
θ+2t=.
P在函数图象上，
Asin(θ+2t)=Asin=，
A=. 函数f(x)的最大值为.
解法二：过点P作PC垂直x轴于点C.
令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，
M，N分别位于y轴两侧，可得M，N， ||=，
·=||·||cos PNM
=·||cos PNM=·||=，
||=， ||=||-||=，
即+t=.
θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，
A=. 函数f(x)的最大值为.
导师语要：本题较好的把三角函数与平面向量结合起来进行考查，既考查了三角函数有关的运算，又考查了向量的数量积运算.近几年的高考中常常把三角函数与平面向量结合考查，也常常把三角函数与正余弦定理结合起来考查.
13.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.
解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得
f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=sin 2x+cos 2x=2sin，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)=2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin，
因为f(x0)=，所以sin=.
由x0，得2x0+，
从而cos=-=-，
所以cos 2x0=cos
=coscos +sinsin
=.
