二、填空题
7.若sin=，则sin 2α=__________.
答案：- 解题思路：sin 2α=-cos=-cos=2sin2-1=2×2-1=-.
8.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边且a=2csin A，c=，ABC的面积为，则a+b=________.
答案：5 命题立意：本题考查解三角形的基本知识，包括三角形面积公式、正弦定理、余弦定理等，考查考生对知识的整合能力.
解题思路：由a=2csin A及正弦定理得==， sin A≠0， sin C=.
ABC是锐角三角形， C=，
S△ABC=ab·sin =，即ab=6， c=，由余弦定理得a2+b2-2abcos =7，即a2+b2-ab=7，解得(a+b)2=25，故a+b=5.
9.有这样一道题：“在ABC中，已知a=，________，2cos2=(-1)cos B，求角A.”已知该题的答案是A=60°，若横线处的条件为三角形中某一边的长度，则此条件应为________.
答案：c= 解题思路：由2cos2=(-1)cos B得1-cos B=(-1)cos B，即cos B=，所以B=45°，则C=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得=，所以c=.
10.已知ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若1+=，则的最小值为________.
答案：1 解题思路：因为A，B，C为ABC中的角，角A，B，C所对边分别为a，b，c，又1+===，
由正弦定理得=，所以1+=，而1+=，所以cos A=，又A为ABC中的内角，所以A=.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bc×≥2bc-bc=bc.(当且仅当b=c时取“=”)所以的最小值为1.
三、解答题
11.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船(在D点)，
则CD=10t海里，BD=10t海里.
在ABC中，由余弦定理 ，得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A
=(-1)2+22-2(-1)·2·cos 120°=6，
BC=(海里).
由正弦定理知=，
sin ∠ABC===，
ABC=45°， B点在C点的正东方向上，
CBD=90°+30°=120°.
在BCD中，由正弦定理，得
=，
sin ∠BCD=
==，
BCD=30°， 缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，
D=30°，
BD=BC，即10t=，
t=小时≈15分钟.
故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
