三、解答题
11.
如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A平面ABCD.
(1)求证：A′C平面BDE;
(2)求证：平面A′AC平面BDE.
解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直.
解析：(1)设AC交BD于M，连接ME.
四边形ABCD是正方形，
M为AC的中点.
又 E为A′A的中点，
ME为A′AC的中位线，
ME∥A′C.
又 ME⊂平面BDE，
A′C⊄平面BDE，
A′C∥平面BDE.
(2)∵ 四边形ABCD为正方形， BD⊥AC.
∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
A′A⊥BD.
又AC∩A′A=A， BD⊥平面A′AC.
BD⊂平面BDE，
平面A′AC平面BDE.
12.
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.
(1)求证：D1CAC1;
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.
命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.
解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连接C1D， DC=DD1，
四边形DCC1D1是正方形，
DC1⊥D1C.
又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，
AD⊥平面DCC1D1，
又D1C平面DCC1D1，
AD⊥D1C.
∵ AD⊂平面ADC1，DC1平面ADC1，
且AD∩DC1=D，
D1C⊥平面ADC1，
又AC1平面ADC1，
D1C⊥AC1.
(1)题图
(2)题图
(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN.
平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E平面A1BD，
可使MND1E，又M是AD1的中点，
则N是AE的中点.
又易知ABN≌△EDN，
AB=DE.
即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.
13.
已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明：MN平面A′ACC′;
(2)求三棱锥C-MNB的体积.
命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
解析：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，
四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，
AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点.
MN∥AC′.
又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，
MN∥平面A′ACC′.
(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN，
BAC=90°， BC==2，
又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，
S△BCN=×2×4=4.
A′B′=A′C′=2，BAC=90°，点N为B′C′的中点，
A′N⊥B′C′，A′N=.
又BB′⊥平面A′B′C′，
A′N⊥BB′，
A′N⊥平面BCN.
又M为A′B的中点，
M到平面BCN的距离为，
VC-MNB=VM-BCN=×4×=.
14.
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.
(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想.
解析：(1)证明：在ABD中，因为AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.
故ADBD.
又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，
所以BD平面PAD，
又BD平面MBD，
所以平面MBD平面PAD.
(2)过点P作OPAD交AD于点O，
因为平面PAD平面ABCD，
所以PO平面ABCD.
因此PO为四棱锥P-ABCD的高.
又PAD是边长为4的等边三角形，
所以PO=×4=2.
在四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，
所以四边形ABCD是梯形.
在Rt△ADB中，斜边AB上的高为=，此即为梯形ABCD的高.
所以四边形ABCD的面积S=×=24.
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×24×2=16.
