一、选择题
1.(文)(2013·郑州市质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f′(e)=( )
A.1 B.-1
C.-e-1 D.-e
[答案] C
[解析] 依题意得，f′(x)=2f′(e)+，取x=e得f′(e)=2f′(e)+，由此解得f′(e)=-=-e-1，故选C.
(理)(2013·云南检测)已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于-115，则a的值是( )
A.- B.
C.2 D.5
[答案] C
[解析] 依题意得f′(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2,3]，于是有3a>0，-2+3=-，-2×3=，
b=-，c=-18a，函数f(x)在x=3处取得极小值，于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115，-a=-81，a=2，故选C.
2.(文)(2014·长春市调研)已知函数f(x)=x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )
A.(-，3) B.(0，-4)
C.(2,3) D. (1，-)
[答案] D
[解析] 由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)=2x，则过A，B两点的切线斜率k1=2x1，k2=2x2，又切线互相垂直，所以k1k2=-1，即x1x2=-.两条切线方程分别为l1y=2x1x-x，l2y=2x2x-x ，联立得(x1-x2)[2x-(x1+x2)]=0，x1≠x2，x=，代入l1，解得y=x1x2=-，故选D.
(理)在函数y=x3-9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] A
[解析] 依题意得，y′=3x2-9，令00，b>0)的焦距为2，抛物线y=x2+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D. x2-=1
[答案] C
[解析] y=x2+1，y′=x，设切点(x0，y0)，则切线方程y-y0=x0(x-x0)，切线过原点，y0=x ，又切点在抛物线上，y0=x+1 ，由(1)(2)得x0=±4，=|x0|=，a=2b，代入a2+b2=c2=5中得b2=1，a2=4，双曲线方程为-y2=1.
(理)(2014·吉林市质检)若函数f(x)=2sinx(x[0，π])在点P处的切线平行于函数g(x)=2·(+1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率( )
A.1 B.
C. D. 2
[答案] C
[解析] f′(x)=2cosx，x[0，π]，f′(x)∈[-2,2]，g′(x)=+≥2，当且仅当x=1时，等号成立，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1=+，2cosx1=2且+=2，x1∈[0，π]，
x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.
4.(文)(2013·浙江文，8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f ′(x)的图象如下图所示，则该函数的图象是( )
[答案] B
[解析] 本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系.
由导数的几何意义可得，y=f(x)在[-1,0]上每一点处的斜率变大，而在[0,1]上则变小，故选B.
(理)(2014·石家庄市质检)定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的大致图象为( )
[答案] D
[解析] A、B为定点，|AB|为定值，ABC的面积S(x)随点C到直线AB的距离d而变化，而d随x的变化情况为增大→减小→0→增大→减小，ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形;然后ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.
5.(2014·山西大学附中月考)已知函数f0(x)=xex，f1(x)=f′0(x)，f2(x)=f1′(x) ，…fn(x)=f′n-1(x)(nN*)，则f′2014(0)=( )
A.2013 B.2014
C.2015 D.2016
[答案] C
[解析] f0(x)=xex，f1(x)=f0′(x)=ex+xex，
f2(x)=f1′(x)=2ex+xex，…，
fn(x)=fn-1′(x)=nex+xex，f2014′(0)=f2015(0)=2015e0+0=2015.
6.(2013·天津文，8)设函数f(x)=ex+x-2，g(x)=lnx+x2-3，若实数a、b满足f(a)=0，g(b)=0，则( )
A.g(a)<01，f(b)=eb+b-2>0，所以f(b)>0>g(a)，故选A.
解法2：f′(x)=ex+1>0，f(x)为增函数，f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，且f(a)=0，00，g(x)在(0，+∞)上为增函数，又g(1)=-2<0，g(2)=ln2+1>0，g(b)=0，1f(1)=0，g(a)0，×3m×m-=18，m=8，m=64.
(理)(2014·沈阳市二检)已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)的导函数为f′(x)，且f′(0)=4，则a2+2b2的最小值为________.
[答案] 8
[解析] f′(x)=(x-a)(x-b)+x[(x-a)+(x-b)]，f′(0)=ab=4，a2+2b2≥2ab=8，故填8.
8.已知函数f(x)=ax3+ax2-bx+b-1在x=1处的切线与x轴平行，若函数f(x)的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是________.
[答案] (，)
[解析] 依题意得，f ′(1)=0，又f ′(x)=ax2+ax-b，
b=2a，
f ′(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1)，令f ′(x)=0，得x=-2或x=1，
当a=0时，不合题意;
当a>0时，要使图象过四个象限，
只需结合a>0，解得a(，);
当a<0时，要使图象过四个象限，
只需结合a<0.可知不存在符合条件的实数a;
综上得，a的取值范围是(，).
9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为________.
[答案] (-∞，-1)(2，+∞)
[解析] f ′(x)=3x2+6ax+3(a+2)，由题意知f ′(x)=0有两个不等的实根，故Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0，即a2-a-2>0，解得a>2或a<-1.
三、解答题
10.(文)(2012·新课标全国文，21)设函数f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f ′(x)+x+1>0，求k的最大值.
[分析] (1)求函数f(x)的单调区间，需判断f ′(x)的正负，因为含参数a，故需分类讨论;(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题.
[解析] (1)f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f ′(x)=ex-a.
若a≤0，则f ′(x)>0，所以f(x)在(-∞，+∞)上单调递增.
若a>0，则当x(-∞，lna)时，f ′(x)<0;当x(lna，+∞)时，f ′(x)>0，
所以，f(x)在(-∞，lna)上单调递减，在(lna，+∞)上单调递增.
(2)由于a=1，所以(x-k)f ′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.
故当x>0时，(x-k)f ′(x)+x+1>0等价于
k<+x (x>0).
令g(x)=+x，则
g′(x)=+1=.
由(1)知，函数h(x)=ex-x-2在(0，+∞)上单调递增.而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点.故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零点.设此零点为α，则α(1,2).
当x(0，α)时，g′(x)<0;当x(α，+∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0，可得eα=α+2，所以g(α)=α+1(2,3).
由于式等价于k0，f(x)在R上单调递增.即f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞)，f(x)没有单调递减区间.
(2)当k<0时，f′(x)=3x2-2kx+1，其开口向上，对称轴x= ，且过(0,1).
(i)当Δ=4k2-12=4(k+)(k-)≤0，即-≤k<0时，f′(x)≥0，f(x) 在[k，-k]上单调递增，
从而当x=k时，f(x)取得最小值 m=f(k)=k，
当x=-k时，f(x) 取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.
(ii)当Δ=4k2-12=4(k+)(k-)>0，即k<-时，令f′(x)=3x2-2kx+1=0
解得：x1=，x2=，注意到kk，从而k0，
f(x)的最小值m=f(k)=k，
f(x2)-f(-k)=x-kx+x2-(-2k3-k)=(x2+k)[(x2-k)2+k2+1]<0，
f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.
综上所述，当k<0时，f(x)的最小值m=f(k)=k，最大值M=f(-k)=-2k3-k.
11.(文)如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0，则f(1)+f ′(1)=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 由条件知(1，f(1))在直线x-y+2=0上，且f ′(1)=1，f(1)+f ′(1)=3+1=4.
(理)(2013·烟台质检)在等比数列{an}中，首项a1=，a4=(1+2x)dx，则该数列的前5项和S5为( )
A.18 B.3
C. D.
[答案] C
[解析] a4=(1+2x)dx=(x+x2)|=18，
因为数列{an}是等比数列，
故18=q3，解得q=3，
所以S5==.故选C.
12.(文)(2013·太原调研)设aR，函数f(x)=ex+a·e-x的导函数f ′(x)是奇函数，若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )
A.- B.-ln2
C. D.ln2
[答案] D
[解析] 由于f ′(x)=ex-ae-x，故若f ′(x)为奇函数，则必有f ′(0)=1-a=0，解得a=1，故f ′(x)=ex-e-x.设曲线上切点的横坐标为x0，则据题意得f ′(x0)=ex0-e-x0=，解得ex0=2，故切点横坐标x0=ln2.
(理)(2014·哈三中一模)在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=xlnx-x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M(0，yM)，过点P作l的垂线交y轴于点N(0，yN).则的范围是( )
A.(-∞，-1][3，+∞)
B.(-∞，-3][1，+∞)
C.[3，+∞)
D.(-∞，-3]
[答案] A
[解析] f(x)=xlnx-x，f ′(x)=lnx，设P(x0，y0)，则y0=x0lnx0-x0，kl=lnx0，l：y-y0=(x-x0)·lnx0，令x=0得yM=y0-x0lnx0=-x0，过点P的直线l的垂线斜率k=-，方程为y-y0=-·(x-x0)，令x=0得yN=y0+=x0lnx0-x0+=
==-lnx0-+1
当x0>1时，lnx0>0，-lnx0-+1=-(lnx0+)+1≤1-2=-1，同理当00，设x1、x2是方程f(x)=0的两根，则|x1-x2|的取值范围是( )
A.[0，) B.[0，)
C.(，) D.(，)
[答案] A
[解析] f(x)=g′(x)=3ax2+2bx+c，f()=++c=(a+2b+3c)=0，是f(x)=0的一根，又f(0)·f(1)>0，0e·f(0)，f(2012)>e2012·f(0)
B.f(1)e2012·f(0)
C.f(1)>e·f(0)，f(2012)0，即F(x)在xR上为增函数，
F(1)>F(0)，F(2012)>F(0)，
即>，>，
f(1)>ef(0)，
f(2012)>e2012f(0).
(理)(2013·浙江苍南求知中学月考)设函数f(x)=x2+bx+c(xR)且f ′(x)+f(x)>0恒成立，则对a∈(0，+∞)，下面不等式恒成立的是( )
A.f(-a)eaf(0)
C.f(a)eaf(0)
[答案] A
[解析] 令F(x)=f(x)ex，则F′(x)=f ′(x)·ex+f(x)·ex=(f ′(x)+f(x))ex>0，
F(x)为增函数，对任意a(0，+∞)，有-a(-∞，0)，
F(-a)0a<-1或a>2.
所求概率P==.
(理)(2014·郑州市质检)已知a>1, 且函数y=ax与函数y=logax的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为________.
[答案] (e，e)
[解析] 设公共点为P(x0，y0)，则点P(x0，y0)为函数y=ax与y=logax的图象的切点，且点P(x0，y0)又在直线y=x上，y′=axlna，ax0lna=1，ax0==logae，又ax0=y0=logax0=logae，x0=e，y0=e.
17.函数f(x)=x2-3x+2lnx，则函数f(x)在[1，e]上的最大值为________，最小值为________.
[答案] e2-3e+2 2ln2-4
[解析] 由f(x)=x2-3x+2lnx可得，
f ′(x)=x+-3==.
当x(1,2)时，f ′(x)<0，
f(x)在[1,2]上是减函数;
当x(2，e)时，f ′(x)>0，
f(x)在[2，e]上是增函数.
当x=2时，f(x)min=f(2)=2ln2-4.
又f(1)=-，f(e)=e2-3e+2，
f(e)-f(1)=e2-3e+2-(-)
=(e2-6e+9)=(e-3)2>0，
f(e)>f(1)，
f(x)max=f(e)=e2-3e+2.
综上，函数f(x)在[1，e]上的最大值为e2-3e+2，最小值为2ln2-4.
三、解答题
18.(文)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.
(1)求a的取值范围;
(2)设g(x)=f(x)-f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
[解析] (1)由f(0)=1，f(1)=0得c=1，a+b=-1，
则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex，
f ′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex
依题意须对于任意x(0,1)，有f ′(x)<0.
当a>0时，因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上，而f ′(0)=-a<0，所以须
f ′(1)=(a-1)e<0，即00，f(x)不符合条件.
故a的取值范围0≤a≤1.
(2)因为g(x)=(-2ax+1+a)ex，g′(x)=(-2ax+1-a)ex，
()当a=0时，g′(x)=ex>0，g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1，在x=1处取得最大值g(1)=e.
()当a=1时，对于任意x(0,1)有g′(x)=-2xex<0，g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2，在x=1处取得最小值g(1)=0.
()当00.
若≥1，即00)，n为正整数，a、b为常数.函数y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x+y=1.
(1)求a、b的值;
(2)求函数f(x)的最大值;
(3)证明：f(x)<.
[分析] (1)根据导数的几何意义及点(1，f(1))在直线x+y=1上可求得a、b.
(2)通过求导判定f(x)的单调性求其最大值.
(3)借用第(2)问的结论f(x)的最大值小于，构造新的函数关系.
[解析] (1)因为f(1)=b，由点(1，b)在直线x+y=1上，可得1+b=1，即b=0，
因为f ′(x)=anxn-1-a(n+1)xn，
所以f ′(1)=-a.
又因为切线x+y=1的斜率为-1，
所以-a=-1，即a=1，
故a=1，b=0.
(2)由(1)知，f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1，
f ′(x)=(n+1)xn-1(-x).
令f ′(x)=0，解得x=，
即f ′(x)在(0，+∞)上有唯一零点x=.
在(0，)上，f ′(x)>0，故f(x)单调递增;
而在(，+∞)上，f ′(x)<0，故f(x)单调递减.
故f(x)在(0，+∞)上的最大值为f()=()n(1-)=.
(3)令φ(t)=lnt-1+(t>0)，则
φ′(t)=-=(t>0).
在(0,1)上，φ′(t)<0，故φ(t)单调递减;
而在(1，+∞)上φ′(t)>0，φ(t)单调递增.
故φ(t)在(0，+∞)上的最小值为φ(1)=0.
所以φ(t)>0(t>1)，
即lnt>1-(t>1).
令t=1+，得ln>，
即ln()n+1>lne，
所以()n+1>e，即<.
由(2)知，f(x)≤<，
故所证不等式成立.
[点评] 本题主要考查了导数的几何意义，通过导数求函数的最大值，判断函数的单调法，在判断单调性和求函数的最大值时一定要注意函数的定义域.
