一、选择题
1.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(-2,3)，则直线l的方程为( )
A.x-y+5=0 B.x+y-1=0
C.x-y-5=0 D.x+y-3=0
[答案] A
[解析] 设圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C(-1,2)，又D(-2,3)，
故直线CD的斜率kCD==-1，
则由CDl知直线l的斜率kl=-=1，
故直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0.
2.过点(2，-1)的直线l与圆x2+y2-2y=1相切，则直线l的倾斜角的大小为( )
A.30°或150° B.45°或135°
C.75°或105° D.105°或165°
[答案] D
[解析] 设直线l为y=k(x-2)-1，代入x2+y2-2y=1，得(1+k2)x2-4k(k+1)x+4(k+1)2-2=0，由Δ=16k2(k+1)2-4(1+k2)[4(k+1)2-2]=0，得k=-2±，倾斜角为105°或165°.
3.(2013·宣城市六校联考)过点P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
[答案] D
[解析] 过P(-2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条.
4.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”;若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”.已知直线l1：2x-y+a=0，l2：2x-y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x-4=0相切，则a的取值范围是( )
A.a>7或a<-3
B.a>或a<-
C.-3≤a≤-或≤a≤7
D.a≥7或a?-3
[答案] C
[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力.两条平行线与圆都相交时，
由得-7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围-3≤a≤-或≤a≤7，故选C.
二、填空题
5.(2013·杭州质检)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+sin2B=sin2C，则直线ax-by+c=0被圆x2+y2=9所截得弦长为________.
[答案] 2
[解析] 由正弦定理得a2+b2=c2，
圆心到直线距离d===，
弦长l=2=2=2.
6.(2013·合肥质检)设直线mx-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦长为2，则m=________.
[答案] 0
[解析] 圆的半径为2，弦长为2，弦心距为1，即得d==1，解得m=0.
三、解答题
7.(文)(2013·海口调研)已知圆C：x2+y2=r2(r>0)经过点(1，).
(1)求圆C的方程;
(2)是否存在经过点(-1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系=+(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程;如果不存在，请说明理由.
[解析] (1)由圆C：x2+y2=r2，再由点(1，)在圆C上，得r2=12+()2=4，
所以圆C的方程为x2+y2=4.
(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0).
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-1=k(x+1)，
联立消去y得，
(1+k2)x2+2k(k+1)x+k2+2k-3=0，
由韦达定理得x1+x2=-=-2+，
x1x2==1+，
y1y2=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2=-3，
因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，
因此，得x+y=4，x+y=4，
由=+得，x0=，y0=，
由于点M也在圆C上，则()2+()2=4，
整理得+3·+x1x2+y1y2=4，
即x1x2+y1y2=0，所以1++(-3)=0，
从而得，k2-2k+1=0，即k=1，因此，直线l的方程为
y-1=x+1，即x-y+2=0.
若直线l的斜率不存在，
则A(-1，)，B(-1，-)，M(，)
()2+()2=4-≠4，
故点M不在圆上与题设矛盾，
综上所知：k=1，直线方程为x-y+2=0.
(理)已知圆O：x2+y2=2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切;
(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是，请证明;若不是，请说明理由.
[解析] (1)因为a=，e=，所以c=1，
则b=1，即椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)因为P(1,1)，F(-1,0)，所以kPF=，
kOQ=-2，所以直线OQ的方程为y=-2x.
又Q在直线x=-2上，所以点Q(-2,4).
kPQ=-1，kOP=1，
kOP·kPQ=-1，
即OPPQ，
故直线PQ与圆O相切.
(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±)，
则y=2-x，kPF=，kOQ=-，
直线OQ的方程为y=-x，
点Q(-2，)，
kPQ==
==-，又kOP=.
kOP·kPQ=-1，即OPPQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切.
