一、选择题
1.(2013·德阳市二诊)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若已知mn，mα，则“nβ”是“αβ”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] α⊥β.⇒/ n⊥β.
2.(2014·重庆理，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.54 B.60
C.66 D.72
[答案] B
[解析] 如图所示
该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，EF∥AC，AC平面ABDF，EF⊥平面ABDF，EF⊥DF，在直角梯形ABDF中，易得DF=5，故其表面积为S=SRtABC+S矩形ACEF+S梯形ABDF+S梯形BCED+SRtDEF=+3×5+++=60.
3.(文)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线.给出下列命题：
若nm，mα，则nα;
若αβ，nβ，nα，则nβ;
若βα，γα，则βγ;
若nm，nα，mβ，则αβ.
其中真命题是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
[答案] C
[解析] 若nm，mα，则nα或nα，即命题不正确，排除A、B;若αβ，nβ，nα，则nβ，则命题正确，排除D，故应选C.
(理)已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )
A.若mα，α∩β=n，则mn
B.若mα，mn，则nα
C.若mα，nβ，αβ，则mn
D.若αβ，α∩β=n，mn，则mβ
[答案] C
[解析] 对于选项A，m，n有可能平行也有可能异面;对于选项B，n有可能在平面α内，所以n与平面α不一定平行;对于选项D，m与β的位置关系可能是mβ，mβ，也可能m与β相交.由nβ，αβ得，nα或nα，又mα，m⊥n，故C正确.
4.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，AED、EBF、FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )
A.1 B.3
C. 2D.5
[答案] B
[解析] 由条件知A′E、A′F、A′D两两互相垂直，以A′为一个顶点，A′E、A′F、A′D为三条棱构造长方体，则长方体的对角线为四面体外接球的直径，A′E=A′F=1，A′D=2，(2R)2=12+12+22=6，R=.
5.已知矩形ABCD，AB=1，BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
[答案] B
[解析] 过A、C作BD的垂线AE、CF，AB与BC不相等，E与F不重合，在空间图(2)中，若ACBD，AC∩AE=A，BD⊥平面ACE，BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直矛盾，A错;若ABCD，AB⊥AD，AB⊥平面ACD，AB⊥AC，ABAB，这样的ABC不存在，C错误.
6.(文)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )
A.2B.1/2
C.3 D.1
[答案] D
[解析] 本题考查了正四棱柱的性质，点到直线距离的求解.连接AC、BD，AC∩BD=O，连接EO，则EOAC1.则点C到平面BDE的距离等于AC1到平面BDE的距离，过C作CHOE于H，CH为所求.在EOC中，EC=，CO=，所以CH=1.本题解答体现了转化与化归的思想，注意等积法的使用.
(理)已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是侧棱PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为( )
A.1 B.3
C. 2D.4
[答案] C
[解析] 设AC与BD的交点为O，棱锥的各棱长都相等，
O为BD中点，EO∥PD，AEO为异面直线AE与PD所成的角，设棱长为1，则AO=，EO=，AE=，AO2+EO2=AE2，cos∠AEO==.
二、填空题
7.a、b表示直线，α、β、γ表示平面.
若α∩β=a，bα，ab，则αβ;
若aα，a垂直于β内任意一条直线，则αβ;
若αβ，α∩γ=a，β∩γ=b，则ab;
若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线;
若lα，mα，l∩m=A，lβ，mβ，则αβ.
其中为真命题的是__________.
[答案]
[解析] 对可举反例如图，需bβ才能推出αβ.对可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直;对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线.所以只有是正确的.
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为________.
[答案] 3
[解析] 4πR2=12π，R=，ABC外接圆半径r=，柱高h=2=2，体积V=×()2×2=3.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P-ABCD的外接球半径R的取值范围是______________.
[答案]
[解析] 当P为A1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，则，R=，当P与A1(或C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R=，R∈[，].
三、解答题
10.(文)(2014·江苏，16)如图，在三棱锥P-ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点.已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5.
求证：(1)直线PA平面DEF;
(2)平面BDE平面ABC.
[解析] (1)由于D、E分别是棱PC、AC的中点，则有PADE，
又PA平面DEF，DE平面DEF，
所以PA平面DEF.
(2)由(1)PADE，又PAAC，所以DEAC，
又F是AB中点，所以DE=PA=3，EF=BC=4，
又DF=5，所以DE2+EF2=DF2，所以DEEF，
EF、AC是平面ABC内两条相交直线，所以DE平面ABC，
又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.
二、填空题
7.a、b表示直线，α、β、γ表示平面.
若α∩β=a，bα，ab，则αβ;
若aα，a垂直于β内任意一条直线，则αβ;
若αβ，α∩γ=a，β∩γ=b，则ab;
若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线;
若lα，mα，l∩m=A，lβ，mβ，则αβ.
其中为真命题的是__________.
[答案]
[解析] 对可举反例如图，需bβ才能推出αβ.对可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直;对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线.所以只有是正确的.
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为________.
[答案] 3
[解析] 4πR2=12π，R=，ABC外接圆半径r=，柱高h=2=2，体积V=×()2×2=3.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P-ABCD的外接球半径R的取值范围是______________.
[答案]
[解析] 当P为A1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，则，R=，当P与A1(或C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R=，R∈[，].
三、解答题
10.(文)(2014·江苏，16)如图，在三棱锥P-ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点.已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5.
求证：(1)直线PA平面DEF;
(2)平面BDE平面ABC.
[解析] (1)由于D、E分别是棱PC、AC的中点，则有PADE，
又PA平面DEF，DE平面DEF，
所以PA平面DEF.
(2)由(1)PADE，又PAAC，所以DEAC，
又F是AB中点，所以DE=PA=3，EF=BC=4，
又DF=5，所以DE2+EF2=DF2，所以DEEF，
EF、AC是平面ABC内两条相交直线，所以DE平面ABC，
又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.
