一、选择题
1.(2013·重庆模拟)设{an}是等比数列，函数y=x2-x-2013的两个零点是a2、a3，则a1a4=( )
A.2013 B.1
C.-1 D.-2013
[答案] D
[解析] 由条件得，a1a4=a2a3=-2013.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n，数列{bn}满足bn=(nN*)，Tn是数列{bn}的前n项和，则T9等于( )
A. 1 B. -1 C. 0 D.2
[答案] D
[解析] 数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n，n=1时，a1=2;n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，an=2n(nN*)，bn===(-)，T9=[(1-)+(-)+…+(-)]=×(1-)=.
3.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(xR)，且f(1)=，则数列{f(n)}(nN*)前20项的和为( )
A.305 B.315 C.325 D.335
[答案] D
[解析] f(1)=，f(2)=+，
f(3)=++，…，
f(n)=+f(n-1)，
{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列.
S20=20×+×=335.
4.等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )
[答案] C
[解析] Sn=na1+d，Sn=n2+(a1-)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧.
[点评] 可取特殊数列验证排除，如an=3-n.
5.(文)已知函数f(x)=log2x，等比数列{an}的首项a1>0，公比q=2，若f(a2·a4·a6·a8·a10)=25，则2f(a1)+f(a2)+…+f(a2012)等于( )
A.21004×2009 B.21005×2009 C.21005×2011 D.21006×2011
[答案] D
[解析] f(a2·a4·a6·a8·a10)
=log2(a2·a4·a6·a8·a10)=log2(aq25)=25，
即a·q25=225，
又a1>0，q=2，故得到a1=1.
2f(a1)+f(a2)+…+f(a2012)=2f(a1)·2f(a2)·…·2f(a2012)
=2log2a1·2log2a2·…·2log2a2012
=a1·a2·…·a2012=a·q1+2+…+2011
=12012×2=21006×2011.故选D.
(理)(2013·成都市二诊)已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an，nN*，且a5=.若函数f(x)=sin2x+2cos2，记yn=f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
A.0 B.-9 C.9 D.1
[答案] C
[解析] 据已知得2an+1=an+an+2，即数列{an}为等差数列，又f(x)=sin2x+2×=sin2x+1+cosx，因为a1+a9=a2+a8=…=2a5=π，故cosa1+cosa9=cosa2+cosa8=…=cosa5=0，又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π，故sin2a1+sin2a9=sin2a2+sin2a8=…=sin2a5=0，故数列{yn}的前9项之和为9，故选C.
6.(文)(2014·辽宁协作联校三模)已知数列{an}的通项公式an=2014sin，则a1+a2+…+a2014=( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
[答案] C
[解析] 数列{an}的周期为4，且a1+a2+a3+a4=2014(sin+sinπ+sin+sin2π)=0，
又2014=4×503+2，
a1+a2+…+a2014=a1+a2=2014sin+2014sinπ=2014.
(理)已知an=，数列{an}的前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是( )
A.an与Sn都有最大值
B.an与Sn都没有最大值
C.an与Sn都有最小值
D.an与Sn都没有最小值
[答案] C
[解析] 画出an=的图象，
点(n，an)为函数y=图象上的一群孤立点，(，0)为对称中心，S5最小，a5最小，a6最大
二、填空题
7.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(m).
[答案] 2000
[解析] 设放在第x个坑边，则
S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|)
由式子的对称性讨论，当x=10或11时，
S=2000.
当x=9或12时，S=20×102=2040，…，当x=1或19时，S=3800.
Smin=2000(m).
8.(2014·广东理，13)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=________.
[答案] 50
[解析] a10a11+a9a12=2e5，a1·a20=e5.
又lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)
=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]
=ln(e5)10=lne50=50.
注意等比数列性质：若m+n=p+q，则am·an=ap·aq，对数的性质logamn=nlogam.
三、解答题
9.(2013·天津理，19)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=Sn-(nN*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5，即4a5=a3，
于是q2==.
又{an}不是递减数列且a1=，所以q=-.
故等比数列{an}的通项公式为an=×(-)n-1=(-1)n-1·.
(2)由(1)得
Sn=1-(-)n=
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1Sn-≥S2-=-=-.
综上，对于nN*，总有-≤Sn-≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为-.
10.(文)(2014·唐山市二模)在公差不为0的等差数列{an}中，a3+a10=15，且a2，a5，a11成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=++…+，试比较bn+1与bn的大小，并说明理由.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得
注意到d≠0，解得a1=2，d=1.
所以an=n+1.(nN+).
(2)由(1)可知
bn=++…+，bn+1=++…+，
因为bn+1-bn=+-=->0，
所以bn+1>bn.
(理)(2013·呼和浩特市二调)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=-，求数列{n·an}的前n项和Tn.
[解析] (1)由已知得2S3=S1+S2，
2(a1+a2+a3)=a1+(a1+a2)，
a2+2a3=0，an≠0，
1+2q=0，q=-.
(2)∵a1-a3=a1(1-q2)=a1(1-)=a1=-，
a1=-2，an=(-2)·(-)n-1=(-)n-2，
nan=n(-)n-2.
Tn=1·(-)-1+2·(-)0+3·(-)1+…+n·(-)n-2，
∴-Tn=1·(-)0+2·(-)1+3·(-)2+…+n·(-)n-1，
①-得
Tn=-2+[(-)0+(-)1+(-)2+…+(-)n-2]-n·(-)n-1
=--(-)n-1(+n)，
Tn=--(-)n-1(+n).
一、选择题
11.(文)设y=f(x)是一次函数，若f(0)=1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )
A.n(2n+3) B.n(n+4)
C.2n(2n+3) D.2n(n+4)
[答案] A
[解析] 设f(x)=kx+1(k≠0)，则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1)k=2，
f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+(2×6×1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n.
(理)已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a1、a49是2x2-7x+6=0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为( )
A. B.9 C.±9 D.35
[答案] B
[解析] {an}是等比数列，且a1，a49是方程2x2-7x+6=0的两根，
a1·a49=a=3.而an>0，a25=.
a1·a2·a25·a48·a49=a=()5=9，故选B.
12.(2014·哈三中二模)在等差数列{an}中，a1+a2+a3=-18，a18+a19+a20=78，则此数列前20项的和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
[答案] C
[解析] a1+a2+a3=-18，a18+a19+a20=78，
(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=60，
a1+a20=20，S20==10×20=200.
13.(2013·福建理，6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是( )
A.计算数列{2n-1}的前10项和
B.计算数列{2n-1}的前9项和
C.计算数列{2n-1}的前10项和
D.计算数列{2n-1}的前9项和
[答案] A
[解析] 由框图结合k=10可知此框图进行了10次运算，结果为1+2+4+9+…+29，故选A.
二、填空题
14.(2014·河北名校导师俱乐部模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S6=4S3，则a3=________.
[答案]
[解析] 解法1：S6=4S3，a4+a5+a6=3(a1+a2+a3)=(a1+a2+a3)q3，
q3=3，q=，a3=a1q2=.
解法2：a1=1，S6=4S3，=，
1+q3=4，
q3=3，q=，a3=a1q2=.
15.已知向量a=(2，-n)，b=(Sn，n+1)，nN*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若ab，则数列{}的最大项的值为________.
[答案]
[解析] a⊥b，a·b=2Sn-n(n+1)=0，
Sn=，an=n，
==，当n=2时，n+取最小值4，此时取到最大值.
三、解答题
16.(2014·沈阳市质检)在ABC中，角A、B、C的对应边分别是a、b、c，满足b2+c2=bc+a2.
(1)求角A的大小;
(2)已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn.
[解析] (1)b2+c2-a2=bc，
==，
cosA=，
又A∈(0，π)，A=.
(2)设{an}的公差为d，由已知得a1==2，
且a=a2·a8，
(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，且d不为零，
d=2，
an=2n.
==-，
Sn=(1-)+(-)+(-)…+(-)=1-=.
17.(文)定义：若数列{An}满足An+1=A，则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中，a1=2，点(an，an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上，其中n为正整数.
(1)证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an+1)}为等比数列;
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1)，求Tn关于n的表达式;
(3)记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn>2012成立的n的最小值.
[解析] (1)证明：由题意得an+1=2a+2an，
2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2.
所以数列{2an+1}是“平方递推数列”.
令cn=2an+1，所以lgcn+1=2lgcn.
因为lg(2a1+1)=lg5≠0，
所以=2.
所以数列{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)由(1)知lg(2an+1)=(lg5)×2n-1，
2an+1=10(lg5)×2n-1=52n-1，
Tn=520×521×522×…×52n-1=520+21+…+2n-1=52n-1.
(3)bn=log2an+1Tn==2-()n-1，
Sn=b1+b2+…+bn=2n-
=2n-2+，
由2n-2=2012得n=1007，
S1006=2×1006-2+(2010,2011)，S1007=2×1007-2+(2012,2013).
故使Sn>2012成立的n的最小值为1007.
(理)已知曲线C：xy=1，过C上一点An(xn，yn)作一斜率为kn=-的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1，yn+1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=.
(1)求xn与xn+1的关系式;
(2)令bn=+，求证：数列{bn}是等比数列;
(3)若cn=3n-λbn(λ为非零整数，nN*)，试确定λ的值，使得对任意nN*，都有cn+1>cn成立.
[分析] (1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系，而(xn，yn)在曲线xy=1上，有xnyn=1，消去yn得xn与xn+1的关系;(2)由定义证为常数;(3)转化为恒成立的问题解决.
[解析] (1)过点An(xn，yn)的直线方程为y-yn=-(x-xn)，
联立方程，消去y得
x2-x+1=0.
解得x=xn或x=.
由题设条件知xn+1=.
(2)证明：=
====-2.
b1=+=-2≠0，数列{bn}是等比数列.
(3)由(2)知，bn=(-2)n，要使cn+1>cn恒成立，由cn+1-cn=[3n+1-λ(-2)n+1]-[3n-λ(-2)n]=2·3n+3λ(-2)n>0恒成立，
即(-1)nλ>-n-1恒成立.
当n为奇数时，即λ-n-1恒成立，
又-n-1的最大值为-，λ>-，
即-<λ<1.又λ为非零整数，
λ=-1，使得对任意nN*，都有cn+1>cn.
