一、选择题
1.(2014·唐山市二模)将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有( )
A.240种 B.120种
C.60种 D. 180种
[答案] B
[解析] 不同的分配方法有CC=120.
2.(2014·湖北理，2)若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84，则实数a=( )
A.2 B. C.1 D.
[答案] C
[解析] 二项式(2x+)7的通项公式为Tr+1=C(2x)7-r()r=C27-rarx7-2r，令7-2r=-3，得r=5.故展开式中的系数是C22a5=84，解得a=1.
3.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A.CA B.CA C.CA D.CA
[答案] C
[解析] 要完成这件事，可分两步走：第一步可先从后排8人中选2人共有C种;第二步可认为前排放6个座位，先选出2个座位让后排的2人坐，由于其他人的顺序不变，所以有A种坐法.综上，由分步乘法计数原理知不同调整方法种数为CA种.
4.由数字0、1、2、3、4、5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )
A.210个 B.300个 C.464个 D.600个
[答案] B
[解析] 由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有=300(个).
5.(2014·唐山市一模)(-)8二项展开式中的常数项为( )
A.56 B.112 C.-56 D.-112
[答案] B
[解析] Tr+1=C()8-r(-)r=(-1)r2rC·x，令8-4r=0，r=2，常数项为(-1)2×22×C=112.
6.从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这个3个点为顶点构成直角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 由于每个面上有直角三角形C=4(个)，每对相对棱形成的对角面上有直角三角形C=4(个)，因此直角三角形共有6×4+6×4=48(个)，故所求概率P==.
7.有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为( )
A.112 B.100 C.92 D.76
[答案] B
[解析] 甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，分组方案有C·C+=7，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为7×A=14;若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，分组方法数是C，分到三项比赛上去的分配方法数是A，故共有方案数CA=36.根据两个基本原理共有方法数2×(14+36)=100(种).
8.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有不同放法( )
A.15种 B.18种 C.19种 D.21种
[答案] B
[解析] 由于每个盒子中小球数各不相同，且1+2+6=9,1+3+5=9,2+3+4=9，故不同放法共有3A=18种.
二、填空题
9.(2014·北京理，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
[答案] 36
[解析] 本题考查了计数原理与排列组合知识.
先只考虑A与产品B相邻，此时用捆绑法，将A和B作为一个元素考虑，共有A=24种方法，而A和B有2种摆放顺序，故总计24×2=48种方法，再排除既满足A和B相邻，又满足A与C相邻的情况，此时用捆绑法，将A、B、C作为一个元素考虑，共有A=6种方法，而A、B、C有2种可能的摆放顺序，故总计6×2=12种方法.
综上，符合题意的摆放共有48-12=36种.
10.(2014·山东理，14)若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为________.
[答案] 2
[解析] 本题考查二项式定理，均值不等式.
Tr+1=C·(ax2)6-r·()r=Ca6-rbrx12-3r，
令12-3r=3，r=3，
Ca3b3=20，
即ab=1.
a2+b2≥2ab=2.
一、选择题
11.(2014·武汉市调研)安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )
A.180 B.240 C.360 D.480
[答案] D
[解析] 将6个位置依次编号为1、2、3、…、6号，当甲排在1号或6号位时，不同排法种数为2A种;当甲排在2号或5号位时，不同排法种数为2A·A种;当甲排在3号或4号位置时，不同排法种数有2(AA+AA)种，
共有不同排法种数，2A+2AA+2(AA+AA)=480种，故选D.
12.(2013·潍坊模拟)如图，M、N、P、Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有( )
A.8种 B.12种
C.16种 D.20种
[答案] C
[解析] 把四个小岛看作四个点，可以两两之间连成6条线段，任选3条，共有C种情形，但有4种情形不满足题意，不同的建桥方法有C-4=16种，故选C.
13.(2013·太原模拟)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( )
A.36 B.48 C.72 D.120
[答案] A
[解析] 第一步，将3个奇数全排列有A种方法;
第二步，将2个偶数插入，使它们之间只有一个奇数，共3种方法;
第三步，将2个偶数全排列有A种方法，所以，所有的方法数是3AA=36.
