一、选择题
11.设向量a,b满足|a|=2,a·b=,|a+b|=2,则|b|等于( )
A. B.1
C. D.2
[答案] B
[解析] |a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=4+3+|b|2=8,|b|=1.
12.(文)已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若+2=3,则的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 如图,设=2,作OAED,则=3,
||=||=2||,=.
(理)(2014·新课标理,10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )
A. B.
C.3 D.2
[答案] C
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0),过点Q作抛物线的准线的垂线,垂足是A,则|QA|=|QF|,抛物线的准线与x轴的交点为G,因为=4,=,由于三角形QAP与三角形FGP相似,所以可得==,所以|QA|=3,所以|QF|=3.
13.(文)(2014·中原名校第二次联考)在三角形ABC中,A=60°,A的平分线交BC于D,AB=4,=+λ(λR),则AD的长为( )
A.1 B.
C.3 D.3
[答案] D
[解析] 在AC上取E点,在AB上取F点,使=,=λ,
=+λ=+,
DE∥AB,DFAC,===3,AF+BF=AB=4,BF=1,AF=3,在ADF中,AF=3,DF=3,DFA=120°,AD=3.
(理)(2014·湖南文,10)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是( )
A.[4,6] B.[-1,+1]
C.[2,2] D.[-1,+1]
[答案] D
[解析] 考查了向量的坐标运算,圆的有关知识.
设D(x,y),则由||=1,得(x-3)2+y2=1,
而|++|=表示点D(x,y)到点(1,-)的距离,(x-3)2+y2=1表示以(3,0)为圆心,1为半径的圆,点(1,-)与点(3,0)的距离为,|++|的取值范围为[-1,+1].
14.(2014·浙江理,8)记max{x,y}=,min{x,y}=,设a,b为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
[答案] D
[解析] 由新定义知,max{x,y}是x与y中的较大值,min{x,y}是x,y中的较小值,据此可知A、B是比较|a+b|与|a-b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小,由平行四边形法则知其大小与〈a,b〉有关,故A、B错;
当〈a,b〉为锐角时,|a+b|>|a-b|,此时|a+b|2>|a|2+|b|2.
当〈a,b〉为钝角时,|a+b|<|a-b|,此时|a+b|2<|a|2+|b|2<|a-b|2.
当〈a,b〉=90°时,|a+b|=|a-b|,此时|a+b|2=|a|2+|b|2.
故选D.
二、填空题
15.(2014·山东理,12)在ABC中,已知·=tanA,当A=时,ABC的面积为________.
[答案]
[解析] ·=||||cos=tan
||||=
SABC=||||sin=××=.
16.(文)(2013·苏北四市一调)如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设=a,=b,若=2,则=________(用向量a和b表示).
[答案] a+b
[解析] 据题意可得=+=+=a+b,又由=2,可得==(a+b)=a+b
(理)(2013·南昌高三调研)已知O为坐标原点,点M(3,2),若N(x,y)满足不等式组则·的最大值为________.
[答案] 12
[解析] 据不等式组得可行域如图所示:
由于z=·=3x+2y,结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解.即zmax=3×4+2×0=12.
三、解答题
17.已知向量a=(cosθ,sinθ),θ[0,π],向量b=(,-1).
(1)若ab,求θ的值;
(2)若|2a-b|4.
18.在ABC中,角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.
(1)设向量x=(sinB,sinC),向量y=(cosB,cosC),向量z=(cosB,-cosC),若z(x+y),求tanB+tanC的值;
(2)若sinAcosC+3cosAsinC=0,证明:a2-c2=2b2.
[解析] (1)x+y=(sinB+cosB,sinC+cosC),
z∥(x+y),
cosB(sinC+cosC)+cosC(sinB+cosB)=0,
整理得tanC+tanB+2=0,
tanC+tanB=-2.
(2)证明:sinAcosC+3cosAsinC=0,
由正、余弦定理得:a·+3××c=0,
a2-c2=2b2.