一、选择题
1.(文)函数f(x)=-+log2x的一个零点落在区间( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
[答案] B
[解析] f(1)·f(2)<0，选B.
(理)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )
A.(1.4,2) B.(1.1,4)
C.(1，) D.(，2)
[答案] D
[解析] 令f(x)=x3-2x-1，则f(1)=-2<0，f(2)=3>0，f()=-<0，选D.
2.若x0是方程x=x的解，则x0属于区间( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 令f(x)=x-x，f(1)=-1=-<0，
f=-<0，
f=->0，
f=-=-<0，
f(x)在区间内有零点.
3.利民工厂某产品的年产量在150t至250t之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的关系可近似地表示为y=-30x+4000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A.240 B.200
C.180 D.160
[答案] B
[解析] 依题意得每吨的成本是=+-30，则≥2-30=10，当且仅当=，即x=200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t，选B.
4.(2014·山东理，8)已知函数f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx，若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A.(0，) B.(，1)
C.(1,2) D.(2，+∞)
[答案] B
[解析] 作出函数y=f(x)的图象如图，当y=kx在l1位置时，过A(2,1)，k=，在l2位置时与l3平行，k=1，0，则a的取值范围为( )
A.(2，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，-2) D.(-∞，-1)
[答案] C
[解析] f ′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2)，若a>0，则f(x)在(-∞，0)和(，+∞)上单调递增，在(0，)上单调递减，又f(0)=1，f(x)不可能存在唯一零点;由选项知a=0不必考虑;a<0时，f(x)在(-∞，)和(0，+∞)上单调递减，在(，0)上单调递增，欲使f(x)落在唯一零点x0>0，应有极小值f()>0，
即a·()3-3·()2+1>0，a<-2.
[点评] 可以用验证法求解.
7.(2013·郑州市质检)已知函数f(x)=x-cosx，则方程f(x)=所有根的和为( )
A.0 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 依题意，方程f(x)=，即cosx=x-，在同一坐标系下画出函数y=cosx与y=x-的大致图象，注意到当x≥时，y=cosx≤1，y=x-≥>1，即此时，y=cosx与y=x-的图象必无交点;当x<-时，y=cosx≥-1.y=x-≤-<-1，即此时y=cosx与y=x-的图象必无交点，结合图象可知，它们的图象只有唯一公共点(，0)，即方程cosx=x-有唯一解x=，因此方程f(x)=所有的实根和等于，故选C.
二、填空题
8.(2013·济宁模拟)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x(0，)时，f(x)=sinπx，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________.
[答案] 7
[解析] 易知在(-，)内，有f(-1)=0，f(0)=0，f(1)=0，即f(x)在一个周期内有3个零点，又区间[0,6]包含f(x)的2个周期，而两端点都是f(x)的零点，故f(x)在[0,6]内有7个零点.
9.已知函数f(x)=()x-log3x，若x0是函数y=f(x)的零点，且0”、“<”、“≥”、“≤”).
[答案] >
[解析] 解法1：f(x)=()x-log3x在(0，+∞)上为减函数，且0f(x0).
解法2：如图知，f(x1)>f(x0).
10.设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0，y0).若x0所在的区间是(n，n+1)(nZ)，则n=________.
[答案] 1
[解析] 由函数图象知，10时，y=f(x)与y=log3x的图象有2个交点，
又y=log3|x|为偶函数，两函数图象交点有4个.
(理)(2014·银川市一中二模)现有四个函数：y=x·sinx;y=x·cosx;y=x·|cosx|;y=x·2x的图象(部分)如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A.①④②③ B.①④③②
C.④①②③ D.③④②①
[答案] A
[解析] y=xsinx为偶函数，对应第一个图;y=xcosx为奇函数，且x>0时，y可正可负，对应第三个图;y=x|cosx|为奇函数，且x>0时，y>0，对应第四个图;y=x·2x为增函数，对应第二个图，故选A.
12.(2014·百校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x+1)为奇函数，f(0)=0，当x(0,1]时，f(x)=log2x，则在(8,10)内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x为( )
A. B.9
C. D.
[答案] C
[解析] 由条件知f(-x)=f(x) ，f(-x+1)=-f(x+1) ，在式中给x赋值x+1得f(-x)=-f(x+2)，将代入得f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，f(x)的周期为4.在中令x=0得f(1)=0，方程f(x)+1=f(1)，化为f(x)=-1，由于f(x)的图象关于点(1,0)对称，当00，令f(x)=-1，(0 B.a≥
C.a< D.a≤
[答案] A
[解析] 当x≤0时，函数y=-x与函数y=3x的图象有一个交点，
所以函数y=f(x)有一个零点;
而函数f(x)在其定义域上只有一个零点，
所以当x>0时，f(x)没有零点.
当x>0时，f ′(x)=x2-4，
令f ′(x)=0得x=2，所以f(x)在(0,2)上递减，
在(2，+∞)上递增，因此f(x)在x=2处取得极小值f(2)=a->0，解得a>.故选A.
14.(2013·天津南开中学月考)已知定义域为(-1,1]的函数f(x)，对任意x(-1,0]，f(x+1)=，当x[0,1]时，f(x)=x，若在区间(-1,1]内g(x)=f(x)-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是( )
A.[0，) B.[，+∞)
C.[0，) D.(0，]
[答案] D
[解析] x∈(-1,0]时，x+1(0,1]，又x[0,1]时，f(x)=x，f(x+1)=x+1，又f(x+1)=，x∈(-1,0]时，f(x)=-1，作出函数f(x)=的图象，由于y=m(x+1)过定点(-1,0)，要使y=m(x+1)与y=f(x)的图象有两个交点，应有01时，不满足;当λ<0时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，其渐近线斜率k=，由题意应有≥1，-1≤λ<0，综上知-1≤λ<1.
(理)(2013·绍兴市模拟)已知函数f(x)=若方程f(x)=t(tR)有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，则x1x2x3x4的取值范围为( )
A.(30,34) B.(30,36)
C.(32,34) D.(32,36)
[答案] C
[解析] 设四个实数根满足x10，
()当y=-a(x-1)与y=-x2-3x相切时，a=1，此时f(x)-a|x-1|=0恰有3个互异的实数根.
()当直线y=a(x-1)与函数y=x2+3x相切时，a=9，此时f(x)-a|x-1|=0恰有2个互异的实数根.
结合图象可知09.
解法二：显然x≠1，所以a=||，
令t=x-1，则a=|t++5|.
因为t+(-∞，-4])[4，+∞)，
所以t++5(-∞，1][9，+∞).
令t+=-5得t=-1或-4，结合图象可得09.
17.(文)函数f(x)对一切实数x都满足f(+x)=f(-x)，并且方程f(x)=0有三个实根，则这三个实根的和为________.
[答案]
[解析] 函数图象关于直线x=对称，方程f(x)=0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x=对称，其和为1，故方程f(x)=0的三个实根之和为.
(理)(2013·南开中学月考)已知f(x)=ax+x-b的零点x0(n，n+1)(nZ)，其中常数a，b满足2a=3,3b=2，则n等于________.
[答案] -1
[解析] 2a=3,3b=2，a=log23，b=log32，
f(-1)=a-1-1-b=log32-1-log32=-1<0，
f(0)=a0-b=1-log32>0，
f(x)在(-1,0)内存在零点，
又f(x)为增函数，f(x)在(-1,0)内只有一个零点，n=-1.
三、解答题
18.(文)(2013·保定市一模)设函数f(x)=x3+x2-ax+a，其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=0在(0,2)内恰有两个实数根，求a的取值范围;
(3)当a=1时，设函数f(x)在[t，t+3](t(-3，-2))上的最大值为H(t)，最小值为h(t)，记g(t)=H(t)-h(t)，求函数g(t)的最小值.
[解析] (1)f ′(x)=x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1)，
令f ′(x)=0得，x1=1，x2=-a<0，
当x变化时，f ′(x)，f(x)变化情况如下表：
x (-∞，-a) -a (-a,1) 1 (1，+∞) f ′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 函数f(x)的单调增区间为(-∞，-a)，(1，+∞)，单调减区间为(-a,1).
(2)由(1)知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，从而方程f(x)=0在区间(0,2)内恰有两个实数根等价于f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，解得00时，x2=>0，
当<1时，f(x)在(0，)上单调递增，(，1)上单调递减，(1，e)上单调递增，
所以最大值1可能在x=或x=e处取得，
而f()=ln+a()2-(2a+1)·=ln--1<0，
所以f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1，解得a=;
