一、解答题
1.(2014·郑州市质检)为了迎接2014年3月30日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球;否则继续抽取.第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖.活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球?”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是'美丽绿城行'标志的概率是.”
(1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数;
(2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望.
[解析] (1)设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A,
则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P()=，
由对立事件的概率知P(A)=1-P()=.
即P()==，解得n=3.
(2)由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1、2、3，则η=2的含义是第一次取到两球都印有“美丽绿城行”，第二次取球中奖;或第一次取到两类球各一个，第二次取球中奖，
P(η=1)==，
P(η=2)=·+·=，
P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)=，则η的分布列为：
η 1 2 3 Ρ 所以Eη=1×+2×+3×=.
2.(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
[解析] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则
P(A)==.
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0、1、2、3.
P(X=k)=(k=0、1、2、3)
所以，随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
3.(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：
一次购物款(单位：元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200，+∞) 顾客人数 m 20 30 n 10 统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件).(注：视频率为概率)
(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量;
(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望.
[解析] (1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n+40=100×60%，
n=20;
m=100-(20+30+20+10)=20.
该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×=3000件.
(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率
p==.
故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，).
P(ξ=0)=C()0()4=，
P(ξ=1)=C()1()3=，
P(ξ=2)=C()2()2=，
P(ξ=3)=C()3()1=，
P(ξ=4)=C()4()0=，
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 P ξ数学期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.
或由Eξ=4×=.
4.(2014·湖南理，17)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望.
[分析] (1)由条件可知甲、乙研发新产品成功的概率，求至少有一种新产品研发成功的概率可用对立事件求解.
(2)先依据A、B产品研发成功的可能性确定利润ξ的取值，再依据独立事件概率求分布列和期望.
[解析] (1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为两种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为、.
则P(B)=(1-)×(1-)=×=，
再根据对立事件概率之间的公式可得
P(A)=1-P(B)=，
所以至少一种产品研发成功的概率为.
(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120+0,100+0,120+100，即ξ=0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：
P(ξ=0)=(1-)×(1-)=;
P(ξ=120)=×(1-)=;
P(ξ=100)=(1-)×=;
P(ξ=220)=×=;
所以ξ的分布列如下：
ξ 0 120 100 220 P(ξ) 则数学期望Eξ=0×+120×+100×+220×=32+20+88=130.
5.当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练，某大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况，精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目，并设置如下计分办法：
项目 甲 乙 丙 挑战成功得分 10 30 60 挑战失败得分 0 0 0 据调查，大学生挑战甲项目的成功概率为，挑战乙项目的成功概率为，挑战丙项目的成功概率为.
(1)求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率，
(2)记该同学挑战三个项目后所得分数为X，求X的分布列并预测该同学所得分数的数学期望.
[解析] (1)甲、乙、丙这三个项目至少一项挑战成功的概率
P=1-(1-)(1-)(1-)=1-=;
(2)由题意，X的可能取值为0、10、30、40、60、70、90、100.
P(X=0)=××=，
P(X=10)=××=，
P(X=30)=××=，
P(X=40)=××=，
P(X=60)=××=，
P(X=70)=××=，
P(X=90)=××=，
P(X=100)=××=，
所以X的分布列为
X 0 10 30 40 60 70 90 100 P E(X)=0×+10×+30×+40×+60×+70×+90×+100×=60.5(分).
所以该同学所得分的数学期望为60.5分.
6.(2013·唐山模拟)某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：
(1)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小;
(2)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分的次数X的分布列和均值.
[解析] (1)甲=(7+9+11+13+13+16+23+28)=15，
乙=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15，
s=[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75，
s=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.
甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小).
(2)根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1=，p2=，
则两人得分均超过15分的概率为p1p2=，
依题意，X～B(2，)，P(X=k)=C()k(1-)2-k，k=0,1,2，
X的分布列为
X 0 1 2 P X的均值E(X)=2×=.
7.(2014·合肥质检)某电视台组织一档公益娱乐节目，规则如下：箱中装有2个红球3个白球，参与者从中随机摸出一球，若为白球，将其放回箱中，并再次随机摸球;若为红球，则红球不放回并往箱中添加一白球，再次随机摸球.如果连续两次摸得白球，则摸球停止.设摸球结束时参与者摸出的红球数是随机变量ξ，受益人获得的公益金yξ与摸出的红球数ξ的关系是yξ=20000+5000ξ(单位：元).
(1)求在第一次摸得红球的条件下，赢得公益金为30000元的概率;
(2)求随机变量yξ的分布列与期望.
[分析] (1)在第一次摸得红球的条件下，再摸球时口袋中有1红4白共5个球，当yξ=30000时，ξ=2，因此需再摸得一红球，有两种可能，第二次摸得红球;第二次摸得白球，第三次摸得红球.
(2)关键是ξ=1的含义要弄清：ξ=1包括第一次摸得红球，第二、三次均摸得白球，或第一次摸得白球，第二次摸得红球，第三、四次都摸得白球.
[解析] (1)在摸得第一个红球的条件下，箱内有1个红球4个白球，摸球结束时赢得公益金为30000元的情形是：先摸得红球或先摸得白球再摸得红球，其概率为P=+×=.
(2)随机变量ξ的可能取值为0、1、2，，对应的随机变量yξ的取值分别为20000、25000、30000.
P(ξ=0)=()2=，
P(ξ=1)=(+×)()2=，
P(ξ=2)=1--=.
随机变量yξ分布列为
yξ 20000 25000 30000 P 随机变量ξ的期望Eyξ=20000×+25000×+30000×=24352.
8.(2014·衡水中学二调)今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁.私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力.为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)完成被调查人员的频率分布直方图;
(2)若从年龄在[15,25)、[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
[解析] (1)各组的频率分别是0.1、0.2、0.3、0.2、0.1、0.1.
所以图中各组的纵坐标分别是0.01、0.02、0.03、0.02、0.01、0.01.
(2)ξ的所有可能取值为：0、1、2、3，
P(ξ=0)=·=·==，
P(ξ=1)=·+·=·+·==，
P(ξ=2)=·+·=·+·==，
P(ξ=3)=·=·==，
所以ξ的分布列是：
ξ 0 1 2 3 P 所以ξ的数学期望Eξ=.
