时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2014·广东模拟)下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是( )
A.y=ln(x+2) B.y=-
C.y=()x D.y=x+
解析：B、C在(0，+∞)上为减函数，D在(0,1)上减，(1，+∞)上增.故选A.
答案：A
2. 函数f(x)=1-( )
A.在(-1，+∞)上单调递增
B.在(1，+∞)上单调递增
C.在(-1，+∞)上单调递减
D.在(1，+∞)上单调递减
解析：画出函数f(x)=1-的图象，从图象上可观察到该函数在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增，故选B.
答案：B
3.已知函数f(x)是R上的减函数，则满足f(|x|)1，解得x>1或x<-1.
答案：D
4.(2014·浙江模拟)设a>0，b>0，e是自然对数的底数，则( )
A.若ea+2a=eb+3b，则a>b
B.若ea+2a=eb+3b，则a C.若ea-2a=eb-3b，则a>b D.若ea-2a=eb-3b，则a 解析：考查函数y=ex+2x为单调增函数，若ea+2a=eb+2b，则a=b;若ea+2a=eb+3b>eb+2b，a>b.故选A. 答案：A 5.(2013·辽宁)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2，g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x)，g(x)}，H2(x)=min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值).记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A-B=( ) A.16 B.-16 C.a2-2a-16 D.a2+2a-16 解析：函数f(x)和g(x)的图象一个是开口向上的抛物线，一个是开口向下的抛物线，两个函数图象相交，则A必是两个函数图象交点中较低的点的纵坐标，B是两个函数图象交点中较高的点的纵坐标.令x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8，解得x=a+2或x=a-2，当x=a+2时，因为函数f(x)的对称轴为x=a+2，故可判断A=f(a+2)=-4a-4.B=f(a-2)=-4a+12，所以A-B=-16. 答案：B 6.(2014·福建模拟)函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2[a，b]，有f()≤[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题： f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; f(x2)在[1，]上具有性质P; 若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1，x[1,3]; 对任意x1，x2，x3，x4[1,3]，有 f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+ f(x4)]. 其中真命题的序号是( ) A. B. C. D. 解析： 命题 具体分析 结论 由关系式f()≤[f(x1)+f(x2)]无法推出函数是否连续 不正确 特殊函数法，f(x)=-x在[1,3]上具有性质P，而f(x2)=-x2显然不具备性质P 不正确 在[1,3]中任取一个数x(1≤x≤3)，则4-x同样在[1,3]内， f(2)=1=f(x)max. 又因为f()≤[f(x)+ f(4-x)]， 即f(x)+f(4-x)≥2. 又因为f(x)≤1，f(4-x)≤1， 所以f(x)=1，f(4-x)=1 正确 f() =f()≤ [f()+f()]≤ [f(x1)+f(x2)]+[f(x3)+ f(x4)]=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)] 正确 答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 解析：函数f(x)的定义域为(-，+∞)， 令t=2x+1(t>0). 因为y=log5t在t(0，+∞)上为增函数，t=2x+1在(-，+∞)上为增函数， 所以函数y=log5(2x+1)的单调增区间为(-，+∞). 答案：(-，+∞) 8.函数f(x)=x+2在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和M+N=________. 解析：令t=，则t[0,2]，于是y=t2+2t=(t+1)2-1，显然它在t[0,2]上是增函数，故t=2时，M=8;t=0时N=0，M+N=8. 答案：8 9.对于任意实数a，b，定义min{a，b}=设函数f(x)=-x+3;g(x)=log2x，则函数h(x)=min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 解析：依题意，h(x)= 当0 当x>2时，h(x)=3-x是减函数， h(x)在x=2时，取得最大值h(2)=1. 答案：1 10.(2014·沈阳第二次质量监测)设在给定区间内，函数f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题： 若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)-g(x)是增函数; 若f(x)是增函数，g(x)是减函数，则f(x)-g(x)是增函数; 若f(x)是减函数，g(x)是增函数，则f(x)-g(x)是减函数; 若f(x)是减函数，g(x)是减函数，则f(x)-g(x)是减函数. 其中正确的命题是________. 解析：由于两个单调性相同的函数的和函数的单调性不变，且函数y=-f(x)与y=f(x)在同一单调区间内的单调性相反，则可知命题和是正确的，故填. 答案： 三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11.已知f(x)=(x≠a). (1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增; (2)若a>0，且f(x)在(1，+∞)内单调递减，求a的取值范围. 解：(1)证明：任取x1 则Δx=x2-x1>0， Δy=f(x2)-f(x1)=- =. (x1+2)(x2+2)>0，Δx>0， Δy>0， f(x)在(-∞，-2)内单调递增. (2)f(x)===1+， 当a>0时，f(x)在(a，+∞)，(-∞，a)上是减函数， 又f(x)在(1，+∞)内单调递减， 0 故实数a的取值范围为(0,1]. 12.已知函数f(x)=a-. (1)求证：函数y=f(x)在(0，+∞)上是增函数; (2)若f(x)<2x在(1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)证明：当x(0，+∞)时，f(x)=a-， 设0 f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)=-=<0. f(x1) (2)由题意a-<2x在(1，+∞)上恒成立， 设h(x)=2x+，则a 可证h(x)在(1，+∞)上单调递增. 故a≤h(1)，即a≤3， a的取值范围为(-∞，3]. 13.(2014·北京西城抽样测试)已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=-. (1)求证：f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解：(1)证明：证法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)， 令x=y=0，得f(0)=0. 再令y=-x，得f(-x)=-f(x). 在R上任取x1>x2，则x1-x2>0， f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0， f(x1-x2)<0， 即f(x1) 因此f(x)在R上是减函数. 证法二：设x1>x2， 则f(x1)-f(x2) =f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又x>0时，f(x)<0， 而x1-x2>0，f(x1-x2)<0， 即f(x1) (2)f(x)在R上是减函数， f(x)在[-3,3]上也是减函数， f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2. f(x)在[-3,3]上的最大值为2，最小值为-2.
