当我们考虑函数 $f(x) = 1 + x$ 的极限时，我们可以使用极限的定义来求解。极限定义指出，如果对于任意的 $\epsilon > 0$，都存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，有 $|f(x) - L| < \epsilon$，那么我们就说函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限是 $L$。

现在，我们考虑函数 $g(x) = \frac{x^{\frac}}$。我们可以将 $g(x)$ 写成如下的形式：

$$

g(x) = e^}

$$

我们可以使用极限的定义来求解 $g(x)$ 的极限，即：

$$

\lim_ e^} = e^{\lim\limits_ -\frac}

$$

我们可以使用洛必达法则来求解上式中的极限。具体来说，我们可以对上式取对数，得到：

$$

\ln g(x) = -\frac

$$

然后，我们可以对 $\ln g(x)$ 求导，得到：

$$

\frac \ln g(x) = -\frac

$$

因此，我们可以使用洛必达法则来求解 $\ln g(x)$ 的极限，即：

$$

\lim_ \ln g(x) = \lim_ -\frac = 0

$$

这意味着 $\lim\limits_ g(x) = e^0 = 1$。因此，我们得到：

$$

\lim_ \frac{x^{\frac}} = \lim_ \frac{x^{\frac}}{x^{\frac}} + \lim_ \frac{x^{\frac}} = 1 + 0 = 1

$$

综上所述，我们得到了函数 $\frac{x^{\frac}}$ 在 $x$ 趋近于正无穷时的极限为 $1$。