奇函数和偶函数是数学中常见的两种函数类型，它们之间有着特殊的关系。奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。

首先，我们可以发现，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么它必须满足f(x)=f(-x)和f(x)=-f(-x)，这就意味着f(x)=0。因此，唯一同时是奇函数和偶函数的函数是常数函数f(x)=0。

其次，如果一个函数是奇函数，那么它的奇偶性在函数图像上有明显的表现：函数关于原点对称。而偶函数则是函数关于y轴对称。

进一步地，我们可以发现奇函数和偶函数之间有一些有趣的性质。如果把一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)相加，得到的函数h(x)=f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数。这是因为h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=-h(x)，即h(x)既不满足f(-x)=-f(x)也不满足f(-x)=f(x)。

但是，如果把两个奇函数或两个偶函数相加，得到的结果仍然是奇函数或偶函数。例如，两个奇函数相加得到的新函数仍然是奇函数，因为h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-h(x)。同理，两个偶函数相加得到的新函数仍然是偶函数。

在实际应用中，奇函数和偶函数有着广泛的应用。例如，在傅里叶级数中，任何一个周期函数都可以表示为奇函数和偶函数的和。在物理学中，奇函数和偶函数也常常出现在对称性问题的研究中。

综上所述，奇函数和偶函数是数学中常见的两种函数类型，它们之间有着特殊的关系。同时是奇函数和偶函数的函数只有常数函数，而两个奇函数或两个偶函数相加得到的结果仍然是奇函数或偶函数。