一阶导数的介值定理是微积分中非常重要的一个定理。它告诉我们，在一个区间内，如果一个函数在两个点处的导数有不同的符号，那么在这两个点之间，一定存在一个点，使得函数的导数等于零。

具体地说，设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(a)$和$f'(b)$符号不同（即$f'(a)\cdot f'(b)<0$），那么存在$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=0$。

这个定理的证明可以通过利用极值定理和介值定理来完成。我们可以考虑在区间$[a,b]$内，找到$f(x)$的最大值$M$和最小值$m$。如果$M$和$m$都是在区间端点处取到的，那么它们就是$f(x)$的最大值和最小值，此时$f'(a)=f'(b)=0$。如果$M$或$m$不在端点处，那么它们就是在某个区间内取到的，此时根据介值定理，一定存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=M$或$f(c)=m$。由于$f(x)$在$c$处可导，因此$f'(c)=0$。

这个定理在实际问题中有很多应用。比如说，在求解最优化问题时，我们常常需要找到一个函数的极值点。通过使用介值定理，我们可以判断函数是否具有极值点，从而缩小搜索范围，提高求解效率。

总之，一阶导数的介值定理是微积分中一个非常重要的定理，它在实际问题中有着广泛的应用。