在平面几何中，三角形是最基本的图形之一。而三角形的三条高，即从三个顶点向对边作垂线所得到的线段，有一个有趣的性质：它们交于同一点。本文将介绍如何用向量法证明这个性质。

假设我们有一个三角形ABC，其中AB、BC、CA分别为三角形的三边，H1、H2、H3分别为三角形ABC的三条高，交点为H。我们要证明H1、H2、H3交于同一点H。

首先，我们可以将三角形的三个顶点A、B、C分别用向量表示。设向量a表示向量AB，向量b表示向量BC，向量c表示向量CA。那么，我们可以得到三条高的向量表示：

H1 = projb(a)，其中projb(a)表示向量a在向量b上的投影向量；

H2 = projc(b)，其中projc(b)表示向量b在向量c上的投影向量；

H3 = proja(c)，其中proja(c)表示向量c在向量a上的投影向量。

接下来，我们需要证明H1、H2、H3交于同一点H。为此，我们可以利用向量的重心公式：

H = (H1 + H2 + H3) / 3

证明如下：

H = (H1 + H2 + H3) / 3

= (projb(a) + projc(b) + proja(c)) / 3

= (b(b · a) / ||b||^2 + c(c · b) / ||c||^2 + a(a · c) / ||a||^2) / 3

其中，·表示向量的点积，|| ||表示向量的模长。

注意到我们可以将分子中的向量用向量表示法展开：

= [(b · a) / ||b||^2]b + [(c · b) / ||c||^2]c + [(a · c) / ||a||^2]a

= [(b · a) / (a · b)]b + [(c · b) / (b · c)]c + [(a · c) / (c · a)]a

其中，我们利用了向量的内积公式：a · b = ||a|| ||b|| cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

因为三角形ABC是一个凸多边形，所以θ的范围在0到π之间，因此cosθ的值不可能为负数。因此，分母中的模长和分子中的点积都是正数。于是，我们可以将分子中的向量按比例表示为：

= [(b · a) / (a · b) + (c · b) / (b · c) + (a · c) / (c · a)](a + b + c) / 3

= 3(a + b + c) / 3

= a + b + c

因此，我们可以得到：

H = (H1 + H2 + H3) / 3 = a + b + c

因为向量a、b、c相交于同一点，所以它们的和向量a + b + c也相交于同一点。因此，我们证明了H1、H2、H3交于同一点H。

综上所述，我们用向量法证明了三角形三条高交于同一点的性质。