平面向量的平行性是数学中一个非常重要的概念，它是指两个向量在平面上方向相同或相反的情况。平面向量的平行性可以通过坐标表示进行证明。

假设有两个平面向量 $\vec=(a_1,a_2)$ 和 $\vec=(b_1,b_2)$，如果它们平行，那么它们的方向相同或相反，即 $\vec$ 和 $\vec$ 的夹角为 $0$ 或 $\pi$。我们可以通过向量内积的定义来证明这一点。

向量内积的定义为 $\vec\cdot \vec=|\vec||\vec|\cos\theta$，其中 $|\vec|$ 和 $|\vec|$ 分别表示向量 $\vec$ 和 $\vec$ 的模长，$\theta$ 表示 $\vec$ 和 $\vec$ 的夹角。

如果 $\vec$ 和 $\vec$ 平行，则 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$。此时，向量内积可以表示为 $\vec\cdot \vec=|\vec||\vec|\cos 0=|\vec||\vec|$ 或 $\vec\cdot \vec=|\vec||\vec|\cos\pi=-|\vec||\vec|$。

根据向量的坐标表示，$|\vec|=\sqrt$，$|\vec|=\sqrt$，$\vec\cdot \vec=a_1b_1+a_2b_2$。将 $\vec\cdot \vec$ 代入上式得到：

$$

\begin

\vec\cdot \vec&=|\vec||\vec|\cos\theta\\

&=\sqrt\sqrt\cos\theta\\

&=\frac{\sqrt\sqrt}\sqrt\sqrt\\

&=a_1b_1+a_2b_2

\end

$$

因此，如果 $\vec$ 和 $\vec$ 平行，则 $a_1b_1+a_2b_2=0$ 或 $a_1b_1+a_2b_2=|\vec||\vec|^2$。此时，我们可以用向量坐标的形式来表示平面向量的平行性。

综上所述，平面向量的平行性可以通过向量内积的定义和坐标表示来进行证明。如果两个平面向量的坐标满足 $a_1b_1+a_2b_2=0$ 或 $a_1b_1+a_2b_2=|\vec||\vec|^2$，则它们平行。