行列式是线性代数中非常重要的概念之一，三阶行列式在计算中也极为常见。本文将介绍三阶行列式的计算方法。

首先，我们需要知道三阶行列式的定义。对于一个三阶行列式，我们可以将它表示为：

$$

\begin

a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_

\end

$$

其中，$a_$表示矩阵中第$i$行、第$j$列的元素。

接下来，我们来介绍三种计算三阶行列式的方法。

1. 按照定义计算

根据行列式的定义，我们可以按照如下方式计算三阶行列式：

$$

\begin

a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_

\end

= a_a_a_ + a_a_a_ + a_a_a_ - a_a_a_ - a_a_a_ - a_a_a_

$$

虽然这种方法可以确保计算结果的正确性，但是计算量较大，不太适合手算。

2. 按行列式的性质计算

行列式有一些重要的性质，其中最重要的两个性质是：

（1）交换行列式中任意两行（列），行列式变号；

（2）若行列式中某一行（列）的所有元素都是两数之和（差）的形式，则可以按照“分配律”将该行（列）拆分成两行（列）。

利用这两个性质，我们可以通过变换行列式中的元素来简化计算。具体来说，我们可以按照如下步骤计算三阶行列式：

（1）将第三行的所有元素都乘以$-1$，得到新的行列式：

$$

\begin

a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_ \\

-a_ & -a_ & -a_

\end

$$

（2）将第二行加上第三行的两倍，得到新的行列式：

$$

\begin

a_ & a_ & a_ \\

a_-a_ & a_-a_ & a_-a_ \\

-a_ & -a_ & -a_

\end

$$

（3）将第一行加上第三行的三倍，得到新的行列式：

$$

\begin

a_-a_ & a_-a_ & a_-a_ \\

a_-a_ & a_-a_ & a_-a_ \\

-a_ & -a_ & -a_

\end

$$

（4）将第一行加上第二行，得到新的行列式：

$$

\begin

a_-a_ & a_-a_ & a_-a_ \\

a_-a_+a_-a_ & a_-a_+a_-a_ & a_-a_+a_-a_ \\

-a_ & -a_ & -a_

\end

$$

（5）去掉新行列式中的第一行和第三列，得到最终结果：

$$

(a_-a_)(a_-a_+a_-a_) - (a_-a_)(a_-a_+a_-a_) = a_a_a_ + a_a_a_ + a_a_a_ - a_a_a_ - a_a_a_ - a_a_a_

$$

这种方法比较巧妙，可以大大简化计算。

3. 按照克拉默法则计算

克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。对于一个三元线性方程组：

$$

\begin

a_x_1 + a_x_2 + a_x_3 = b_1 \\

a_x_1 + a_x_2 + a_x_3 = b_2 \\

a_x_1 + a_x_2 + a_x_3 = b_3

\end

$$

我们可以将其转化为行列式的形式：

$$

\begin

a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_

\end

\begin

x_1 \\

x_2 \\

x_3

\end

=

\begin

b_1 \\

b_2 \\

b_3

\end

$$

如果行列式不为$0$，则方程组有唯一解，可以通过求解行列式和各个元素的代数余子式来求解方程组。具体来说，我们可以按照如下步骤计算三阶行列式：

（1）构造增广矩阵：

$$

\begin

a_ & a_ & a_ & b_1 \\

a_ & a_ & a_ & b_2 \\

a_ & a_ & a_ & b_3

\end

$$

（2）求解行列式$\begina_ & a_ & a_ \\a_ & a_ & a_ \\a_ & a_ & a_\end$，记作$D$。

（3）对于每个未知数$x_i$，将增广矩阵中第$i$列替换为常数列$\beginb_1 \\ b_2 \\ b_3\end$，得到新的矩阵$A_i$。对于每个矩阵$A_i$，求解其行列式$D_i$。

（4）按照克拉默法则的公式：

$$

x_i = \frac

$$

求解出每个未知数的值。

这种方法比较适合计算较为复杂的线性方程组。

综上所述，我们介绍了三种计算三阶行列式的方法，分别是按照定义计算、按行列式的性质计算和按照克拉默法则计算。不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来计算三阶行列式。