交错级数绝对收敛还是条件收敛
来源 :华课网校 2024-08-02 13:56:37
中交错级数是指由交替正负项组成的无穷级数。对于一个交错级数,我们往往会关心它是否收敛,以及收敛的方式是绝对收敛还是条件收敛。
首先,我们来看什么是绝对收敛和条件收敛。对于一个无穷级数$\sum_^a_n$,如果$\sum_^|a_n|$收敛,则称该级数绝对收敛。如果$\sum_^|a_n|$发散,但是$\sum_^a_n$收敛,则称该级数条件收敛。
那么,对于一个交错级数$\sum_^(-1)^a_n$,如何判断它的收敛方式呢?我们可以利用莱布尼茨判别法。
莱布尼茨判别法是指,对于一个交错级数$\sum_^(-1)^a_n$,如果满足以下两个条件:
1. $a_n$单调递减趋于0,即$a_\leq a_n$且$\lim_a_n=0$。
2. $a_n$的绝对值是单调递减趋于0的,即$|a_|\leq |a_n|$且$\lim_|a_n|=0$。
那么,该交错级数就是收敛的,并且是条件收敛的。
为什么呢?我们可以通过将交错级数拆分为正项级数和负项级数来理解。对于一个交错级数$\sum_^(-1)^a_n$,我们可以将它拆分为$\sum_^b_n$和$\sum_^c_n$,其中$b_n=\max\\}$,$c_n=\max\\}$。
显然,$b_n$和$c_n$都是单调递减趋于0的正项数列。因此,根据调和级数的性质,$\sum_^b_n$和$\sum_^c_n$都是发散的正项级数。
但是,由于$a_n$是交替正负项组成的,因此$\sum_^(-1)^a_n=\sum_^b_n-\sum_^c_n$。因为$b_n$和$c_n$都是单调递减趋于0的正项数列,所以$\sum_^b_n$和$\sum_^c_n$都是条件收敛的正项级数。因此,$\sum_^(-1)^a_n$也是条件收敛的。
综上所述,对于一个交错级数$\sum_^(-1)^a_n$,如果满足莱布尼茨判别法的条件,那么它是收敛的,并且是条件收敛的。
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