(1+1/x)^x的极限为什么是e
来源 :华课网校 2024-08-09 16:07:31
中(1+1/x)^x是一个经典的数列,它的极限是e。e是自然对数的底数,它是一个无理数,约等于2.71828。
要理解为什么(1+1/x)^x的极限是e,我们需要先了解一些数学知识。首先,我们知道e可以用级数表示:
e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...
这个级数是无限的,但它收敛到一个确定的值,就是e。
接下来,我们可以用这个级数来证明(1+1/x)^x的极限是e。我们将式子变形一下,得到:
(1+1/x)^x=e^(xln(1+1/x))
现在我们来看右边的式子。xln(1+1/x)可以用级数表示:
xln(1+1/x)=x(1/x-1/2x^2+1/3x^3-...)
这个级数也是无限的,但是我们只需要前面几项就可以得到足够精确的结果了。
现在我们可以把这个级数代入原来的式子了:
(1+1/x)^x=e^(xln(1+1/x))=e^(1-1/2x+1/3x^2-...)
这个式子的右边也是一个级数,它的前几项就是e的级数。因此,当x趋近于无穷大时,(1+1/x)^x也趋近于e。
这就是为什么(1+1/x)^x的极限是e。虽然这个证明有点复杂,但是它展示了数学的美妙之处:通过推理、变形和级数展开,我们可以发现看似不相关的数学概念之间的联系,从而更深入地理解数学的本质。
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