完全平方数是指一个正整数，它的平方根也是正整数。比如，4是一个完全平方数，因为它的平方根是2，而9也是一个完全平方数，因为它的平方根是3。

完全平方数在数学中有着重要的地位。它们经常出现在各种数学问题中，比如因式分解、勾股定理等。

以因式分解为例，我们知道任何一个正整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。而有些数的因式分解式中，所有质因子的指数都是偶数，比如36就是6的平方，它的因式分解式为$2^2 \times 3^2$。这些数就是完全平方数。

另一个经典的例子是勾股定理。勾股定理指的是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于另外两条直角边的平方和。即$c^2=a^2+b^2$，其中$c$是斜边，$a$和$b$是直角边。如果$a$和$b$都是整数，那么$c$也是整数。而且根据勾股定理的定义，$c$也是一个完全平方数。

完全平方数还有一些有趣的性质。例如，任何一个正整数的平方都可以表示为连续奇数之和。比如，$3^2=1+3+5$，$4^2=1+3+5+7$。这个性质也可以用来解决一些数学问题。

总之，完全平方数是数学中一个非常重要的概念，它们在各种数学问题中都有着广泛的应用。