(三) 概率的统计定义
概率的统计定义的要点如下：
(1)与事件a有关的随机现象是可以大量重复试验的;
(2)若在n次重复试验中，事件a发生 次，则事件a发生的频率为:
(1.1-2)
频率 能反映事件a发生的可能性大小;
(3)频率 将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件a的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似表示概率。
[例1.1-7 ] 说明频率稳定的例子
(1)为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为0.5，许多人做了大量的重复试验，图1.1-10记录了前400次掷硬币试验中频率 的变化情况。在重复次数n较小时 波动剧烈，随着n的增大， 波动的幅度在逐渐变小。历史上有不少人做过更多次重复试验。其结果(见表1.1-1)表明，正面出现的频率逐渐稳定在0.5。这个0.5就是频率的稳定值，也是正面出现的概率，这与用古典方法计算的概率是相同的。
(2)在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定，其使用频率见表1.1-2。这项研究在计算机键盘设计 (在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造 (使用频率高的字母应多铸一些)、信息的编码 (使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是有用的。
三、概率的性质及其运算法则
(一) 概率的基本性质及加法法则
根据概率的上述定义，可以看出它具有以下基本性质:
性质l：概率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意事件a,有:
特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：
性质2：若 是a的对立事件，则：
或
性质3：若 则：
性质4：事件a与b的并的概率为:
这个性质称为概率的加法法则。特别若a与b互不相容，即：
若 ，则：
性质5：对于多个互不相容事件 ，有:
[例1.1-7] 抛三枚硬币，至少一个正面出现 (记为事件 )的概率是多少?
解：在抛三枚硬币的随机试验中，样本空间共有8个样本点：(正、正、正)、(反、反、反)、(正、反、反)、(反、正、反)、(反、反、正)、(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)。 中所含的样本点较多，但其对立事件 ="抛三枚硬币，全是反面"={(反，反，反)}，只含一个样本点，从等可能性可知 =1/8。再由性质2，可得:
[例1.1-8] 设事件 的概率分别为 .在下列三种情况下分别求 的值：
(1) 与 互斥;
(2) 解：(1)因为 与 互斥，所以 ， =0
(2)因为 所以 = = [例1.1-9]一批产品共100件，其中5件不合格品，现从中随机抽出10件，其中最多有两件不合格品的概率是多少?
解：设ai表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品” ，于是所求事件上a=“最多有2件不合格品可表示为：a=a0∪a1∪a2，并且a0、 a1、 a2为三个互不相容事件，由性质5可知：p(a)=p(a0)+p(a1)+p(a2)。余下就是用古典方法算得ai的概率。据a0的定义，从100件产品随机抽出10件的所有样本点共有 个。要使抽出的10件产品中有0件不合格品，即全是合格品，则10件必须从95件合格品中抽取，所以：
p(a0)= 类似的可算得：
p(a1)= p(a2)=0.0702
于是所求的概率为：
p(a)=0.5837+0.3394+00.0702=0.9933
可见事件a发生的概率很接近于1，说明发生的可能性大;而它的对立事件a=“抽10件产品中至少有3件不合格品”的概率p( )=1-p(a)=0.0067，发生的可能性很小。
来源:考试网-质量工程师考试
