全国2011年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 
表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2，则
( )
A.-1 B.
C.
D.1
2.设
则方程
的根的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若
则必有（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.设
其中
则矩阵A的秩为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ）
A.0 B.2
C.3 D.4
7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（ ）
A.-10 B.-4
C.3 D.10
8.已知线性方程组
无解，则数a=( )
A.
B.0
C.
D.1
9.设3阶方阵A的特征多项式为
则
( )
A.-18 B.-6
C.6 D.18
10.若3阶实对称矩阵
是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）
A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3
C.-1，2，3 D.1，2，3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设行列式
其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
12.设
则
__________.
13.设A是4×3矩阵且
则
__________.
14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.
15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.
16.设方程组
有非零解，且数
则
__________.
17.设4元线性方程组
的三个解α1，α2，α3，已知
则方程组的通解是__________.
18.设3阶方阵A的秩为2，且
则A的全部特征值为__________.
19.设矩阵
有一个特征值
对应的特征向量为
则数a=__________.
20.设实二次型
已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.设矩阵
其中
均为3维列向量，且
求
22.解矩阵方程
23.设向量组α1=（1，1，1，3）T，α2=（-1，-3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
24.设3元线性方程组
,
（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.
25.已知2阶方阵A的特征值为
及
方阵
（1）求B的特征值；
（2）求B的行列式.
26.用配方法化二次型
为标准形，并写出所作的可逆线性变换.
四、证明题(本题6分)
27.设A是3阶反对称矩阵，证明
