全国2011年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．下列等式中，正确的是（ ）
A．
B．3
=
C．5
D．
2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=
，则C-1是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A*的秩r (A*)=（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．设向量
，若有常数a,b使
，则（ ）
A．a=-1, b=-2 B．a=-1, b=2
C．a=1, b=-2 D．a=1, b=2
6．向量组
的极大线性无关组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设矩阵A=
，那么矩阵A的列向量组的秩为（ ）
A．3 B．2
C．1 D．0
8．设
是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵
有一个特征值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设矩阵A=
，则A的对应于特征值
的特征向量为（ ）
A．（0，0，0）T B．（0，2，-1）T
C．（1，0，-1）T D．（0，1，1）T
10．二次型
的矩阵为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．行列式
__________.
12．行列式
中第4行各元素的代数余子式之和为__________.
13．设矩阵A=
，B=（1，2，3），则BA=__________.
14．设3阶方阵A的行列式|A|=
，则|A3|=__________.
15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，A-1B=B-1A=E，则A2+B2=__________.
16．已知3维向量
=（1，-3，3），
（1，0，-1）则
+3
=__________.
17．设向量
=（1，2，3，4），则
的单位化向量为__________.
18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为__________.
19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为
，则行列式|B-1|=__________.
20．设A=
是正定矩阵，则a的取值范围为__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．已知矩阵A=
，B=
，
求：（1）ATB；
（2）|ATB|.
22．设A=
，B=
，C=
，且满足AXB=C，求矩阵X.
23．求向量组
=（1, 2, 1, 0）T，
=（1, 1, 1, 2）T，
=（3, 4, 3, 4）T，
=（4, 5, 6, 4）T的秩与一个极大线性无关组.
24．判断线性方程组
是否有解，有解时求出它的解.
25．已知2阶矩阵A的特征值为
=1，
=9，对应的特征向量依次为
=（-1，1）T，
=（7，1）T，求矩阵A.
26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=
，求行列式|A-E|的值.
四、证明题（本大题共6分）
27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明：
（1）AB-BA为对称矩阵；
（2）AB+BA为反对称矩阵.
