离散数学自学笔记联结词_第2页

值得注意的是，这里的“或”是所谓可兼的，即当p和q均真时，确认p∨q为真。在日常生活中，“或”在有的场合下不同于上述意义。例如“人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛”。其中的“或”是不可兼的，即当发现有人的死既重于泰山又轻于鸿毛时，上述论断被认为假。看来这里的“或”用∨表示不合适，可用表1.4规定的新联结词“不可兼或” 表示之。但是，像上述场合一样的许多场合下，两个析取命题事实上不可能同时为真，即表1.4的末行根本无需定义，这时用∨代替 就没有问题，并且能使语句的表示简化。例如“a>0或a=0或a<0”可表示为“a>0∨a=0∨a<0”，而不必多此一举地表示为“a>0 a=0 a<0”。

　　表1.4

p	q	p q
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0

　　蕴涵词（implication）“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。

　　蕴涵词→的意义及复合命题p→q的真值状况规定见表1.5.

　　表1.5

p	q	p→q
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 0 1

　　例1.6  如果用p表示“天气好”，q表示“我去接你”，那么p→q表示命题“如果天气好，那么我去接你”。当天气好时，我去接了你，这时诺言p→q真；我没去接你，则诺言p→q假。当天气不好时，我无论去或不去接你均未食言，此时认定p→q为真是适当的。

　　上述规定的蕴涵词称为实质蕴涵（substantive implication），因为它不要求p→q中的p，q有什么关系，只要p，q为命题，p→q就有意义。例如“如果2+2=5，那么雪是黑的”，就是一个有意义的命题，且据定义其真值为“真”。蕴涵词的这种规定形式，在讨论数学问题和逻辑问题时是正确的、充分的，但在某些情况下显得有些不足，为此不少人对其它规定形式的蕴涵词有兴趣，对此本书不予介绍。

　　双向蕴涵词（two-way implication）“当且仅当”（if and only if），用符号？表示之。设p，q为两命题，那么p？q表示命题“p当且仅当q”，“p与q等价”，即当p与q同真值时p？q为真，否则为假。p？q读作“p双向蕴涵q”，“p当且仅当q”，“p等价于q”。由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用，因而用第一种读法更好些。

　　双向蕴涵词的意义及p？q的真值状况由表1.6给出。

　　表1.6

p	q	p«q
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1

　　例1.7  如果p表示命题“△ABC@△A'B'C'”，q表示命题“△ABC与△A'B'C'的三边对应相等”，那么p？q表示平面几何中的一个真命题，因为p真时q显然真，p假时q亦必然假，故p与q同真值。若q表示命题“△ABC与△A'B'C'的三内角对应相等”，那么p？q不再是恒真的了，因p假时q未必为假。

　　以上介绍的是五个最常用、最重要的联结词，自然语言中还有其它联结词，有的可以直接用它们中的一个来表示，例如“也”等同于“且”，“除非”等同于“当且仅当”；有的则可以用它们中的若干个来表示，例如“不可兼或”可用∨，∧与┐来表示。