《初中数学》竞赛辅导21

　　1. 分类讨论的规则

　　解题总是在一定的范围(论域)进行的.解题中有时要将题目条件包含的全体对象分成若干类,然后逐类讨论,才能得出正确的解答.因此,分类讨论是数学解题中的一个重要内容.

　　(1) 分类的规则 分类时首先要明确分类的对象和分类的标准.有时还要对第一次分出的各类进行再分类,这就是第二级分类,类似地有第三级分类、第四级分类、……，这种进行多次分类的现象叫做连续分类.合理的分类不但是正确解题的基础，而且是简捷解题的出发点.

　　分类的原则是：不重不漏，即每一个题设包含的对象都必须在而且只在所分的一类中.为此，分类时必须做到：

　　① 一次分类只按一个标准进行;

　　② 连续分类按层次逐级进行.

　　(2)枚举和讨论 解决需要讨论的问题的方法是枚举，枚举的基础是正确分类.

　　例1 求出所有的自然数n，使三个整数n，n+8，n+16都为质数.

　　解 现将所有自然数n按模为3的剩余类分成三类：

　　n=3k，3k+1，3k+2.

　　当n=3k时，只有k=1时，三个整数(3，11，19)都是质数;

　　当n=3k+1时，n+8=3k+1+8=3(k+3)不是质数;

　　当n=3k+2时，n+16=3k+2+16=3(k+6)不是质数.

　　所以满足题设的自然数只有一个3.

　　2.分类讨论举例

　　下面我们用分类讨论的思想方法来解决一些国内外数学竞赛问题.

　　例2 (第4届加拿大中学生竞赛题)设a和n是相异的实数，证明存在整数m和n使得am+bn<0，bm+an>0.

　　证明 既然a，b为相异实数，那么必有a-b<0或a-b>0.

　　当a-b<0时，就取m=1，n=-1，验证和满足所给不等式;

　　当a-b>0时，就取m=-1，n=1，显然也满足所给不等式.