(2) 不定方程的解法
不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式(质因数)分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.
例6 求方程 的整数解.
解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.
在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解
解得 例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a
证明(因式分解法)∵a2+b2=c2，
∴a2=(c-b)(c+b)，
又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.
于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1<3b，
即 < .而a≥3,∴ ≤1，∴ <1.∴a
例9(第35届美国中学数学竞赛题)满足联立方程
的正整数(a，b，c)的组数是( ).
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4
解(质因数分解法)由方程ac+bc=23得
(a+b)c=23=1×23.
∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得
(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,
∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).
例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.
解 由(y-2)x=2y-7,得 分离整数部分得 由x为整数知y-2是3的因数,
∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.
∴方程整数解为
例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.
解(不等式法)方程有整数解 必须△=(y+1)2-4(y2-y)≥0，解得
≤y≤ .
满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.
当y=0时，由原方程可得x=0或x=1;当y=1时，由原方程可得x=2或0;当y=2时，由原方程可得x=1或2.
所以方程有整数解
最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.
例12 求满足方程 且使y是最大的正整数解(x，y).
解将原方程变形得 由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，
12-x=1，x=11，这时y=132.
故 满足题设的方程的正整数解为
(x，y)=(11，132).
例13(第35届美国中学生数学竞赛题)满足0
(A)0 (B)1 (C)3 (D)4 (E)7
解法1 根据题意知，0
得 当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26·31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.
∵x<1984，∵1≤t≤7.当t=1，2，3时，得整数对分别为(31，1519)、(124，1116)和(279，775).当t>3时y≤x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选(C).
解法2 ∵1984= ∴ 由此可知：x必须具有31t2形式，y必须具有31k2形式，并且t+k=8(t，k均为正整数).因为0
，我们将会及时处理。
