《初中数学》竞赛训练题及答案(3)_第2页

　　数学竞赛训练题四答案

　　一、选择题

　　1.设函数 如果 那么 的值等于( )

　　A.3 B.7 C.-3 D.-7

　　解：取 ，而当 ，所以 ，故选C.

　　2.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是( )

　　A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆

　　解：把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题，容易的出答案D

　　3.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =( )

　　A，1 B.-1 C.2+ D.-2+ 解：xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(α­n+ ), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故选A。

　　4.已知 ，定义 ，则 (　　　　)

　　A. B. C. D. 解：计算 可知 是最小正周期为6的函数。即得 ，所以 = ，故选C.

　　5.已知双曲线 的右焦点为F,右准线为 ,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交 于R,则　　(　　　　)

　　A. B.

　　C. D. 解：分别做 由相似三角形的性质，得 ，又有双曲线的第二定义，得 故 平分 所以选C.

　　6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且 ， 都是方程log x=logb(4x-4)的根，则△ABC( )

　　A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形

　　C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形

　　解：由log x=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A= ，而sinA>0，∴sinA= 。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。

　　二、填空题

　　7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.

　　答案： 。 由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。

　　8.如果：(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}

　　(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a

　　(3)a是a, b, c, d中的最小数

　　那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.

　　答案：46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C =6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成 =16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A =24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

　　9.设 则关于 的方程 的所有实数解之和为

　　答案：4解：令 变形为 可以发现函数 是R上的减函数。又因为 ，从而关于 的方程 的解分别为0、1、3，

　　10.若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.

　　答案： 。解：①若t2-4>0，即t<-2或t>2，则由 >x(|x|≤1)恒成立，得 , t+1>t2-4, t2-t-s<0解得 ，从而 -t2+4; t2+t-3>0，解得：t< 或t> ，从而

　　11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 。

　　解：设直角三角形的三边为a,b, ,则有 =a+b+ , ,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0, (a-4)(b-4)=

　　8, a,b都是正整数， a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个。

　　12.对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

　　答案：1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

　　下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，

　　即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0

　　相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。

　　三、解答题：

　　13.已知a, b, c∈R+，且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。

　　解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=

　　4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。

　　当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。

　　14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2，Q是 上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交 于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

　　解：以 为x轴，点P到 的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ，所以m+r k =nhr，∴m+(1-nh)r= ，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以 ，由(1)(2)式，得m=0, k=0，由(3)式，得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ，所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。