2019年岩土工程师《材料力学》考点串讲：弯曲梁的内力、应力和变形

　　弯曲梁的内力、应力和变形

　　一、 平面弯曲的概念

　　弯曲变形是杆件的基本变形之一。以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。

　　(1)弯曲变形特征。任意两横截面绕垂直杆轴线的轴做相对转动，同时杆的轴线也弯成曲线。

　　(2)平面弯曲。荷载作用面(外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面)与弯曲平面(即梁轴线弯曲后所在平面)相平行或重合的弯曲。

　　产生平面弯曲的条件：

　　(1)梁具有纵对称面时，只要外力(横向力或外力偶)都作用在此纵对称面内。

　　(2)非对称截面梁。

　　纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面(即梁的轴线与其横截面的形心主惯性轴所构成的平面)平行的平面内。

　　横力弯曲时，横向力必须通过横截面的弯曲中心，并在与梁的形心主惯性平面平行平面内。

　　二、梁横截面上的内力分量——剪力与弯矩

　　(一)剪力与弯矩

　　(1)剪力。梁横截面上切向分布内力的合力，称为剪力，以Q表示。

　　(2)弯矩。梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩，称为弯矩，以M表示。

　　(3)剪力与弯矩的符号。考虑梁微段dx，使右侧截面对左侧截面产生向下相对错动的剪力为正，反之为负;使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正，反之为负，

　　(4)剪力与弯矩的计算。由截面法可知，梁的内力可用直接法求出：

　　1)横截面上的剪力，其值等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力在横截面方向的投影代数和，且左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正剪力，反之则引起负剪力。

　　2)横截面上的弯矩，其值等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对该截面形心的力-2矩代数和，且向上外力均引起正弯矩，左侧梁上顺时针转向的外力偶及右侧梁上逆时针转向的外力偶引起正弯矩，反之则产生负弯矩

　　(二)内力方程——剪力方程与弯矩方程

　　(1)剪力方程。表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的函数，称为剪力方程，表示为

　　Q=Q(x)

　　(2)弯矩方程。表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，称为弯矩方程，表示为

　　M=M(x)

　　(三)剪力图与弯矩图

　　(1)剪力图。表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的图线，称为剪力图。

　　(2)弯矩图。表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，称为弯矩图。

　　三、荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用

　　(一)微分关系

　　若规定荷载集度q向上为正，则梁任一横截面上的剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系。

　　(二)快速作图法

　　(1)求支反力，并校核。

　　(2)根据外力不连续点分段。

　　(3)定形：根据各段梁上的外力，确定其Q、M图的形状。

　　(4)定量：用直接法计算各分段点、极值点的Q、M值。

　　四、弯曲正应力 正应力强度条件

　　(一)纯弯曲

　　梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。

　　(二)中性层与中性轴

　　(1)中性层。杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。

　　(2)中性轴。中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。

　　(3)中性轴位置。当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面。

　　(4)中性层的曲率。

　　(三)平面弯曲杆件横截面上的正应力分布规律：正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧为压应力

　　五、弯曲剪应力与剪应力强度条件

　　(一)矩形截面梁的剪应力

　　两个假设：

　　(1)剪应力方向与截面的侧边平行。

　　(2)沿截面宽度剪应力均匀分布

　　(二)其他常用截面梁的最大剪应力

　　工字形截面

　　(三)剪应力强度条件

　　梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力

　　七、弯曲中心的概念

　　在横向力作用下，梁分别在两个形心主惯性平面xy和xz内弯曲时，横截面上剪力Qy和Qz作用线的交点，称为截面的弯曲中心，也称为剪切中心。

　　当梁上的横向力不能过截面的弯曲中心时，梁除了发生弯曲变形外还要发生扭转变形。

　　弯曲中心的位置仅取决于截面的几何形状和大小，它与外力的大小和材料的力学性质无关。弯曲中心实际上是截面上弯曲剪应力的合力作用点，如表4所示。

　　因此，弯曲中心的位置有以下特点：

　　(1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。

　　(2)有一个对称轴的截面，其弯曲中心必在此对称轴上。

　　(3)若薄壁截面的中心线是由相交于一点的若干直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。

　　八、梁的变形——挠度与转角

　　(一)挠曲线

　　在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)，

　　(二)挠度与转角

　　梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括挠度和转角两部分。

　　(三)挠曲线近似微分方程

　　九、积分法计算梁的变形

　　十、用叠加法求梁的变形(一)叠加原理

　　几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角，等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。

　　(二)叠加原理的适用条件

　　叠加原理仅适用于线性函数。要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满足以下条件：

　　(1)材料为线弹性材料。

　　(2)梁的变形为小变形。

　　(3)结构为几何线性。

　　(三)叠加法的特征

　　(1)各荷载同时作用下的挠度、转角等于各荷载单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。