在数学教师资格专业知识的考试过程中,数列极限是常考的内容,除了考察求数列极限的内容外,还会考察数列极限定义,通常它会出一道证明题,让你证明所给的数列极限。像这样的题,尤其是大学数学中的内容,很多学生对数列极限的定义的理解本来就很模糊,没有做到真正地理解,因此在这类证明题时就会摸不到头脑,找不到突破口,那么接下来我就仔细讲解数列极限的定义。
首先给出讲义中的数列极限的定义:设 {Xn} 为实数数列,a 为定数,若对任给的正数 ε,总存在正整数N,使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a,定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。由此可知,我们在用定义证明数列极限时,我们要找到这个正整数N,使得定义之后的那一串东西要成立,这下就可以找到突破口了。
那么我用几何的观点来给大家讲解一下它的定义,如下图
当ε越来越小时,也就是a+ε与a+ε这两条直线越来越小时,当n大于N时,在这两条直线之间的散点都落在里面即可,只要找到这样的N就行。
我们通过几何直观地讲解了数列极限定义,但是我们平时还是需要标准定义来解题,也就是几何直观但是不好解题,因此,我们需要充分利用几何的直观性来理解定义。
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