参考答案
1.D 2.C 3.D 4.D
5.D 取BC中点M,
即=.
则由重心的性质可得=2.
所以 =(+)=(-a+b).
故 =2=-a+b.
所以=+=-2a+b.
故选D.
6.B g(x)=y′=cos x为偶函数,
所以函数y=x2g(x)也为偶函数,排除选项A,D.
当x=0时,y=x2g(x)=0,排除选项C.
7.D 根据约束条件画出可行域,
因为设k==1+,
整理得(k-1)x-2y+k-3=0,由图得,k>1.
设直线l0:(k-1)x-2y+k-3=0,
当直线l0过A(0,4)时,k最大为11,
当直线l0过B(0,0)时,k最小为3.故选D.
8.A 由f(x)=sin (ωx+)的最小正周期为4π,得ω=.
因为f(x)≤f()恒成立,
所以f(x)max=f(),
即×+=+2kπ(k∈Z),
由||<,得=,
故f(x)=sin(x+).
令x+=kπ(k∈Z),
得x=2kπ-(k∈Z),
故f(x)的对称中心为(2kπ-,0)(k∈Z),
当k=0时,f(x)的对称中心为(-,0),故选A.
9.A 由三视图可知r=1,R=4,S1=π×12=π,S2=π×42=16π,
所以V=[(π+16π+)×4]×-π×12×4=×21π-2π=12π.故选A.
10.C 因为y=(x-2)ex,
所以y′=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.
令y′=0,得x=1.
当x<1时,y′<0;
当x>1时,y′>0.
所以y=(x-2)ex在x=1处取得极小值,且极小值为-e.
又实数a,b,c成等比数列,
所以ac=b2=e2.
11.C 因为抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,又|CA|+|AF|=2a,所以C,A,F三点共线,且A是线段CF的中点,
因为C(0,4),F(,0),
所以A(,2),则4=2p·⇒p=2,
所以a=+=,
因为圆心C到直线OA:y=2x的距离为=,
所以所求的弦长为2=.选C.
12.B 设g(x)=,x∈[0,+∞),
则g′(x)=
=.
因为f′(x)>f(x),
所以g′(x)>0,
所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
所以g(2)0),
所以f′(x)=()′=-(x>0).
当00;
当x>1时,f′(x)<0;
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故f(x)在x=1处取得极大值.
因为函数f(x)在区间(m,m+)(m>0)上存在极值,
所以得0,从而g′(x)>0,故g(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(1)=2>0,
所以实数t的取值范围是(-∞,2].
21.解:(1)设F(c,0),P(t,),
则Q(-t,),
所以+=1,
即t2=a2, ①
因为PF⊥QF,
所以·=-1,
即c2-t2=-, ②
所以由①②得c2-a2=-,
又a2-c2=3,所以a2=4,
所以椭圆M的方程为+=1.
(2)当直线AB斜率存在时,设直线AB方程为y=kx+m.
由
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
所以
因为O为重心,
所以=-(+)
=(,),
因为C点在椭圆M上,故有+=1,
可得4m2=4k2+3.
而|AB|
=
=,
d==(利用d是O到AB距离的3倍得到),
所以S△ABC=|AB|·d
=
=
=,
当直线AB斜率不存在时,|AB|=3,d=3,S△ABC=.
所以△ABC的面积为定值.
22.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),
依题意得
由+=1得x2+()2=1,
即曲线C的方程为x2+=1.
C的参数方程为(t为参数).
(2)由
解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),
则线段P1P2的中点坐标为(,1),
所求直线的斜率k=,
于是所求直线方程为y-1=x-.
化为极坐标方程,并整理得
2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
即ρ=.
23.解:(1)当a=-4时,f(x)≥6,
即|x-4|+|x-2|≥6,
即或
或
解得x≤0或x≥6.
所以解集为(-∞,0]∪[6,+∞).
(2)原命题等价于f(x)≤|x-3|在[0,1]上恒成立,
即|x+a|+2-x≤3-x在[0,1]上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在[0,1]上恒成立,即-1≤a≤0.
所以实数a的取值范围为[-1,0].
