三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知等比数列{an}的公比q=-.
(1)若a3=,求数列{an}的前n项和;
(2)证明:对任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列.
18.(本小题满分12分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BC=2,
∠CBA=,四边形ABEF为直角梯形,BE∥AF,∠BAF=,BE=2,AF=3,平
面ABCD⊥平面ABEF.
(1)求证:AC⊥平面ABEF;
(2)求三棱锥DAEF的体积.
19.(本小题满分12分)国内某知名大学有男生14 000人,女生10 000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天运动的时间,如下表:(平均每天运动的时间单位:小时,该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3])
男生平均每天运动的时间分布情况:
平均每天运动的时间 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3] 人数 2 12 23 18 10 x 女生平均每天运动的时间分布情况:
平均每天运动的时间 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3] 人数 5 12 18 10 3 y (1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1);
(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”,低于2小时的学生为“非运动达人”.
①请根据样本估算该校“运动达人”的数量;
②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为′运动达人′与性别有关?”
运动达人 非运动达人 总计 男生 女生 总计 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828
20.(本小题满分12分)已知椭圆W:+=1(a>b>0)的离心率为,其左顶点A在圆O:x2+y2=16上.
(1)求椭圆W的方程;
(2)若点P为椭圆W上不同于点A的点,直线AP与圆O的另一个交点为Q.是否存在点P,使得=3?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)(选修44:坐标系与参数方程)
已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
23.(本小题
参考答案
1.B 2.D 3.A 4.C
5.B 对于①,由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知①正确;对于②,显然m也可能在α内;对于③,显然m也可能在α内;对于④,由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可知④正确.故选B.
6.C 因为f′(x)=-cos(-x)
=-sin[-(-x)]
=sin[(-x)-]
=sin[-(x+)],
所以只需将f(x)=sin(-x)的图象向左平移个单位.故选C.
7.A 该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,其体积为V=×2×1×2-××1×1×1=.
8.D 因为α∈(0,),0αcos α=c>0,a=logαc>a,
故选D.
9.C 函数f(x)的定义域为(0,+∞),排除选项A.
当x→0时,f(x)→+∞,排除选项D.
当x→+∞时,f(x)→-∞,排除选项B.
10.D 根据题意,得
当x∈(-2,2)时,f(x)=2x,
所以1≤2x≤8,
所以0≤x<2;
当x∉(-2,2)时,f(x)=x+1,
所以1≤x+1≤8,
所以2≤x≤7,
所以x的取值范围是[0,7].故选D.
11.C 直线l的方程为y=(x-c),联立2bx+ay=0,
解得
即点M的坐标为(,-).
因为M在以线段F1F2为直径的圆上,
所以⊥,
所以·=0,
则-c2+=0⇒=,
则椭圆的离心率为.选C.
12.C 因为f(x)≤0在[-2,+∞)上有解,
所以a≥(x3-3x+3-)min,
令g(x)=x3-3x+3-,x∈[-2,+∞),
则g′(x)=3x2-3-
=3(x2-1)+
=(x-1)(3x+3+).
令h(x)=3x+3+,x≥-2,
则h′(x)=3-在[-2,+∞)上单调递增,
令h′(x)=0,得x=-ln 3.
所以x∈[-2,-ln 3)时,h′(x)<0,
x∈(-ln 3,+∞)时,h′(x)>0.
所以h(x)在[-2,-ln 3)上单调递减,在(-ln 3,+∞)上单调递增,
又h(-ln 3)=-3ln 3+3+
=6-3ln 3
=3(2-ln 3)>0,
所以h(x)>0在[-2,+∞)上恒成立.
所以令g′(x)>0,得x>1,令g′(x)<0得-2≤x<1,
所以g(x)在[-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
所以g(x)min=g(1)=1-.
所以a≥1-.
故选C.
13.解析:由a⊥b可得a·b=0,
即(x-5)×2+3x=0,
解得x=2.
答案:2
14.解析:因为θ∈(0,),
所以θ+∈(,),
又cos(θ+)=,
所以sin(θ+)=.
所以cos 2θ=sin[2(θ+)]=2sin(θ+)cos(θ+),
即cos 2θ=2××=,
因为2θ∈(0,π).所以sin 2θ=.
所以sin(2θ-)=sin 2θcos -cos 2θsin ,
即sin(2θ-)=×-×=.
答案:
15.解析:圆心C(2,0)到直线2x-y+1=0的距离d=,
所以|PA|=≥=2,
则△CAP面积最小值为×2×1=1.
答案:1
16.解析:y=
=
其图象如图
而函数y=kx的图象是过原点的直线,
当直线过点(1,2)时,k=2,
当直线斜率为1时,k=1,
结合图象易知01时,ln a>0,
m(x)=(ax-1)ln a在R上是增函数,
当01或00的解集为(0,+∞),
f′(x)<0的解集为(-∞,0),
故函数f(x)的单调增区间为(0,+∞),
单调减区间为(-∞,0).
(2)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,
而当x∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,
所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.
又因为x,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x [-1,0) 0 (0,1) f′(x) - 0 + f(x) 减函数 极小值 增函数 所以f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数,
所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,
f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大者.
因为f(1)-f(-1)=(a+1-ln a)-(+1+ln a)
=a--2ln a,
令g(a)=a--2ln a(a>0),
因为g′(a)=1+-=(1-)2≥0,
所以g(a)=a--2ln a在a∈(0,+∞)上是增函数.而g(1)=0,
故当a>1时,g(a)>0,
即f(1)>f(-1);
当01时,f(1)-f(0)≥e-1,
即a-ln a≥e-1,
函数y=a-ln a在a∈(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;
当02得
或
解得x<或x>.
故所求实数x的取值范围为
(-∞,)∪(,+∞).
(2)由|m+n|+|m-n|≥|m|f(x)且m≠0得≥f(x),
又因为≥
=2,
所以f(x)≤2,
因为f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞),
所以f(x)≤2的解集为[,].
满分10分)(选修45:不等式选讲)
已知m,n都是实数,m≠0,f(x)=|x-1|+|x-2|.
(1)若f(x)>2,求实数x的取值范围;
(2)若|m+n|+|m-n|≥|m|f(x)对满足条件的所有m,n都成立,求实数x的取值范围.
