计算题51分练(4)
1.(15分)质量为2 kg的木板B静止在水平面上，可视为质点的物A从木板的左侧沿木板上表面水平冲上木板，如图1甲所示。A和B经过1 s达到同一速度，之后共同减速直至静止，A和B的v-t图像如图乙所示，重力加速度g=10 m/s2，求：
图1
(1)A与B之间的动摩擦因数μ1;
(2)B与水平面间的动摩擦因数μ2;
(3)A的质量。
解析 (1)由题图可知，A在0～1 s内的加速度
a1==-2 m/s2(2分)
对A ，由牛顿第二定律得-μ1mg=ma1(2分)
解得μ1=0.2。(1分)
(2)由题图知，A、B整体在1～3 s内的加速度
a3==-1 m/s2(2分)
对A、B
-μ2(M+m)g=(M+m)a3(2分)
解得μ2=0.1。(1分)
(3)由题图可知，B在0～1 s内的加速度
a2==2 m/s2(2分)
对B，由牛顿第二定律得μ1mg-μ2(M+m)g=Ma2(2分)
代入数据解得m=6 kg。(1分)
答案 (1)0.2 (2)0.1 (3)6 kg
2.(17分)(2015·四川攀枝花高三二模)如图2所示，一根不可伸长的轻细绳穿过小环D下端的光滑小孔，绕过轻质光滑定滑轮O，一A连接，绝缘棒的中点带有点电荷，另一端与穿在光滑竖直细杆上的小球B连接，整个装置在同一竖直平面内。当系统静止时，轻细绳与竖直细杆的夹角为θ=30°，D与竖直细杆间的距离为d。已知斜面倾角α=60°，棒A的长度为L=(2-)d，质量为m，点电荷电荷量为+q，重力加速度为g，细杆、斜面足够长。试求：
图2
(1)小球B的质量;
(2)若在绝缘棒A静止时下端位置MN、上端位置PQ(MN、PQ与斜面垂直)之间的区域内加一沿斜面向下的匀强电场(图中未画出)，B运动的最高点可达与D同高的C点，求场强的大小;
(3)若所加电场的场强大小E=，求绝缘棒A第一次全部离开电场时，小球的速度。
解析 (1)两物体受力分析如图所示，由平衡条件得：对A：
T=mgsin α(2分)
对B：Tcos θ=mBg(2分)
联立以上各式并代入数据解
mB=m(1分)
(2)由能量守恒定律得：
+mg(-d)sin α=mBgdcot θ(3分)
联立以上各式并代入数据解得：
E==(2分)
(3)绝缘棒A第一次全部离开电场时，小球B运动到E点，DE与杆的夹角为β，如图所示，由能量守恒得：+mgLsin α-mBg(dcot θ-cos β)=mv+mBv(3分)
由运动分解可得：vA=vBcos β(1分)
由几何知识可得：=-L，sin β=(1分)
联立以上各式并代入数据解得：vB=(2分)
答案 (1)m (2) (3)
3.(19分)如图3所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限的等腰直角三角形MNP区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场， y<0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从电Q(-2h，-h)点以速度v0水平向右射出，经过坐标原点O处射入第Ⅰ象限，最后以垂直于PN的方向射出磁场。已知MN平行于x轴，N点的坐标为(2h，2h)，不计粒子的重力，求：
图3
(1)电场强度E的大小以及带电粒子从O点射出匀强电场时与水平方向夹角α的正切值;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)带电粒子从Q点运动到射出磁场的时间t。
解析 (1)粒子在匀强电场中做类平抛运动，由平抛运动规律及牛顿运动定律得2h=v0t①(2分)
h=at2②(2分)
又qE=ma③(2分)
联立①②③解得E=④(1分)
设粒子到达O点时的速度为v，沿y轴正方向的分速度为vy
则有vy=at=·=v0，v==v0⑤(2分)
速度v与x轴正方向的夹角α满足tan α==1(1分)
即α=45°，因此粒子从MP的中点垂直于MP进入磁场。
(2)又因为粒子垂直于PN射出磁场，所以P点为圆心，轨道半径R==h⑥(2分)
由牛顿第二定律有qvB=m⑦(2分)
联立解得B=。(1分)
(3)带电粒子在电场中运动的时间t1=，从O点运动到磁场边界的时间t2==，在磁场中运动的时间：
t3==(2分)
带电粒子从Q点运动到射出磁场的时间
t =t1+t2+t3=++=(3+)。(2分)
答案 (1) 1 (2) (3)(3+)
