计算题51分练(3)
1.(15分)如图1所示，板MNPQ上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度都为d的缝，两缝近端相距也为d。一个质量为m、电荷量为q的粒子从左缝不同位置垂直MN进入磁场，都能从右缝射出磁场，不计粒子的重力。求：
图1
(1)该粒子在磁场中运动的时间t;
(2)该粒子从不同位置射入磁场到到达NP中垂线的时间范围;
(3)在射入后这段时间内，该粒子可能出现区域的面积。
解析 (1)粒子无论从缝MN中何处进入磁场，从缝PQ射出时，运动轨迹都是半个圆周
由qvB=m(2分)
T=(2分)
解得T=(1分)
运动时间t=T=(1分)
(2)要使粒子都能从磁场中射出，粒子做圆周运动的半径
R=d(1分)
经分析知，从M进入磁场的粒子到达NP中垂线的时间最长tmax=T=(2分)
从N点射入磁场的粒子到达NP中垂线的时间最短
tmax=T=(2分)
时间范围为≤t≤(2分)
(3)经分析可知，在射入后这段时间里，粒子可能出现区域的面积S=d2。(2分)
答案 (1) (2)≤t≤ (3)d2
2.(17分)(2015·四川高考信息卷二)如图2所示，顶角为90°的“V”形光滑金属导轨MON固定在倾角为θ的绝缘斜面上，M、N连线平行于斜面底端，导轨MO、NO的长度相等，M、N两点间的距离L=2 m，整个装置处于磁感应强度大小为B=0.5 T、方向垂直于斜面向下的匀强磁场中。一根质量为m=0.4 kg;粗细均匀、单位长度电阻值为r=0.5 Ω/m的导体棒ab，受到平行于斜面向上且垂直于ab的变力F作用，以速度v=2 m/s沿导轨向下匀速滑动，导体棒在运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻，从导体棒在MN时开始计时，
图2
(1)t=0时，F=0，求斜面倾角θ;
(2)求0.2 s内通过导体棒的电荷量q;
(3)求导体棒通过整个金属导轨的过程中产生的焦耳Q。
解析 (1)导体棒开始运动时，回路中产生的感应电动势为E=BLv(2分)
感应电流I==(2分)
安培力F安=BIL(1分)
由平衡条件得mgsin θ=F安+F(2分)
F=0
联立上式得θ=30°(1分)
(2)感应电流I==与导体棒切割的有效长度L无关
感应电流大小I==2 A(1分)
故0.2 s内通过导体棒的电荷量q=It=0.4 C(2分)
(3)解法一：设导体棒经t时间沿导轨匀速向下运动的位移为x，则在t时刻导体棒切割的有效长度Lx=L-2x(1分)
导体棒在导轨上运动时所受的安培力
F安=BILx=(L-2x)=2-2x(2分)
因安培力的大小F安与位移x呈线性关系，故通过导轨过程中导体棒所受安培力的平均值
安= N=1 N(1分)
产生的焦耳热Q=安·=1 J(2分)
解法二：设导体棒经t时间沿导轨匀速向下运动的位移为x，则t时刻导体棒切割的有效长度Lx=L-2x
导体棒在导轨上运动时所受的安培力
F安=BILx=(L-2x)=2-2x
作出安培力大小随位移x变化的图像
图像与坐标轴围成面积表示导体棒克服安培力做的功，也表示产生Q，所以，产生的焦耳热Q=1 J
答案 (1)30° (2)0.4 C (3)1 J
3.(19分)如图3所示，光滑水平面与一倾斜运输带MP相接，运输带与水平面夹角为θ=30°，运输带顺时针运行，速率v0=5 m/s。在水平面上的N点处放一质量m=0.4 kg的小物块，N点与运输带下端M点间的距离x=2 m。现对小物体施加水平恒力F=10 N作用至M点撤掉，连接点M处是平滑的，，到达运输带最高点P时速度恰好为零，取g=10 m/s2，求：
图3
(1)小物体运动到M点时的速度大小;
(2)MP之间的距离L;
(3)小物体在运输带上运动的过程中相对运输带滑动的距离Δs。
解析 (1)小物体从N点运动至M点，由动能定理得
Fx=mv2(2分)
解得v=10 m/s。(1分)
(2)小物体从刚到运输带上到两者共速前，受到沿斜面向下的摩擦力作用，做匀减速运动，由牛顿第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma1(2分)
解得a1=7.5 m/s2(1分)
由v-v2=-2a1L1
得 L1=5 m(1分)
小物体与运输带共速后继续做减速运动，相对于运输带下滑，受沿斜面向上的摩擦力，由牛顿第二定律得
mgsin θ-μmgcos θ=ma2(2分)
解得a2=2.5 m/s2(1分)
由0-v=-2a2L2得L2=5 m(1分)
则L=L1+L2=10 m。(1分)
(3)由v0=v-a1t1得t1= s(1分)
所以运输带运行的位移
x1=v0t1= m(1分)
小物体相对运输带的位移
Δs1=L1-x1= m(1分)
由0=v0-a2t2得t2=2 s(1分)
所以运输带运行的位移
x2=v0t2=10 m(1分)
小物体相对运输带的位移
Δs2=x2-L2=5 m(1分)
所以小物体相对于运输带滑动的距离
Δs=Δs1+Δs2= m。(1分)
答案 (1)10 m/s (2)10 m (3) m
