7.若椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________.
答案 (0,1)
解析 可知e==1-，
e==1+，
所以e+e=2>2e1e100，b>0)的左焦点F作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________.
答案
解析 设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且PF′=2×=a，故PF=3a，根据勾股定理得FF′=a.所以双曲线的离心率为=.
9.(2014·浙江)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA=PB，则该双曲线的离心率是________.
答案
解析 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.
由得A(，)，
由得B(，)，
所以AB的中点C坐标为(，).
设直线l：x-3y+m=0(m≠0)，
因为PA=PB，所以PC⊥l，
所以kPC=-3，化简得a2=4b2.
在双曲线中，c2=a2+b2=5b2，
所以e==.
10.(2013·湖南)设F1，F2是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1+PF2=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 不妨设PF1>PF2，
则PF1-PF2=2a，
又∵PF1+PF2=6a，
∴PF1=4a，PF2=2a.
又在△PF1F2中，∠PF1F2=30°，
由正弦定理得，∠PF2F1=90°，∴F1F2=2a，
∴双曲线C的离心率e==.
11.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：-=1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=λ+，求λ的值.
解 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上，
有-=1.
由题意有·=，
可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，
则e==.
(2)联立得4x2-10cx+35b2=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则①
设=(x3，y3)，=λ+，
即
又C为双曲线上一点，即x-5y=5b2，
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
化简得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x-5y=5b2，x-5y=5b2.
由(1)可知c2=6b2，
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2.
得λ2+4λ=0，解得λ=0或λ=-4.
12.(2014·江西)如图，已知双曲线C：-y2=1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：-y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.
解 (1)设F(c,0)，
直线OB方程为y=-x，
直线BF的方程为y=(x-c)，解得B(，-).
又直线OA的方程为y=x，
则A(c，)，kAB==.
又因为AB⊥OB，所以·(-)=-1，
解得a2=3，
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由(1)知a=，则直线l的方程为
-y0y=1(y0≠0)，即y=.
因为c==2，所以直线AF的方程为x=2，
所以直线l与AF的交点为M(2，);
直线l与直线x=的交点为N(，).
则==
=·.
因为P(x0，y0)是C上一点，则-y=1，
代入上式得=·
=·=，
即==为定值.
