9.(2014·江西)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C：+=1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________.
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴+=0，
∴=-·.
∵=-，
x1+x2=2，y1+y2=2，
∴-=-，
∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2，
∴a2=2(a2-c2)，∴a2=2c2，∴=.
10.(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1(0b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN=5F1N，求a，b.
解 (1)根据c=及题设知M(c，)，
=，2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac，
解得=，=-2(舍去).
故C的离心率为.
(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
故=4，即b2=4a.①
由MN=5F1N，得DF1=2F1N.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得+=1.②
将①及c=代入②得+=1.
解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b=2.
12.(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左，右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2=，求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(-c,0)，F2(c,0).
(1)因为B(0，b)，所以BF2==a.
又BF2=，故a=.
因为点C在椭圆上，
所以+=1，解得b2=1.
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为+=1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，
可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为=，
直线AB的斜率为-，且F1C⊥AB，
所以·=-1.
又b2=a2-c2，整理得a2=5c2.
故e2=，因此e=.
