题型一 直线和圆的位置关系的判断问题
例1 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则l与C的位置关系为________.
破题切入点 由于不知道直线l的方程,于是需要求P点与圆C的位置关系.
答案 相交
解析 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得
32+02-4×3=9-12=-3<0,
∴点P(3,0)在圆内.
∴过点P的直线l一定与圆C相交.
题型二 弦长问题
例2 若圆上一点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,则圆的方程是__________________.
破题切入点 将已知条件转化为直线x+2y=0过圆心,弦长可通过几何法表示.
答案 (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
解析 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,说明圆心在直线x+2y=0上,即有a+2b=0,又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,故r2-2=2,
依据上述方程,解得或
所以,所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
题型三 直线和圆的综合性问题
例3 如图所示,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当=2时,求直线l的方程;
(3)B·B是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
破题切入点 (1)由圆A与直线l1相切易求出圆的半径,进而求出圆A的方程.
(2)注意直线l的斜率不存在时也符合题意,以防漏解,另外应注意利用几何法,以减小计算量.
(3)分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论.
解 (1)设圆A的半径为R.
∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,
∴R==2.
∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连结AQ,则AQ⊥MN.
∵=2,∴|AQ|==1.
由==1,得k=.
∴直线l的方程为3x-4y+6=0.
∴所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
(3)∵AQ⊥BP,∴A·B=0.
∴B·B=(B+A)·B
=B·B+A·B=B·B.
当直线l与x轴垂直时,得P.
则B=,又B=(1,2),
∴B·B=B·B=-5.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2).
由解得P.
∴B=.
∴B·B=B·B=-=-5.
综上所述,B·B是定值,且B·B=-5.
总结提高 (1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法:一是将直线和圆的方程联立,利用判别式的符号求解根的个数,即为直线和圆的交点个数;二是将圆心到直线的距离d和半径r相比较,当d>r时相离,d=r时相切,d0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为________.
答案 6
解析 根据题意,画出示意图,如图所示,
则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m.
因为∠APB=90°,连结OP,
易知|OP|=|AB|=m.
要求m的最大值,
即求圆C上的点P到原点O的最大距离.
因为|OC|==5,
所以|OP|max=|OC|+r=6,
即m的最大值为6.
4.(2014·福建改编)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的________条件.
答案 充分不必要
解析 将直线l的方程化为一般式得kx-y+1=0,所以圆O:x2+y2=1的圆心到该直线的距离d=.又弦长为2=,所以S△OAB=··==,解得k=±1.因此可知“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.
5.直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度为________.
答案 2
解析 ∵圆心到直线x+y-2=0的距离
d==1,半径r=2,
∴弦长|AB|=2=2=2.
6.“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(x-b)2=2相切”的________条件.
答案 充分不必要
解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为:=|a-b+2|=2a=b或a-b=-4,故“a=b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
7.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切,则实数m=________.
答案 -5或2
解析 对于圆C1与圆C2的方程,配方得
圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,
则C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2.
如果圆C1与圆C2相外切,那么有C1C2=r1+r2,
即=5,
则m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,
所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2相外切.
8.已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成的两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为______________.
答案 x2+2=
解析 ∵圆C关于y轴对称,
∴圆C的圆心在y轴上,可设C(0,b),
设圆C的半径为r,则圆C的方程为x2+(y-b)2=r2.
依题意,得解得
∴圆C的方程为x2+2=.
9.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________.
答案
解析 圆心为(2,-1),半径r=2.
圆心到直线的距离d==,
所以弦长为2=2=.
10.(2014·山东)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为________________.
答案 (x-2)2+(y-1)2=4
解析 设圆C的圆心为(a,b)(b>0),
由题意得a=2b>0,且a2=()2+b2,
解得a=2,b=1.
所以,所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
11.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过M点的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.
解 (1)圆心C(1,2),半径为r=2,
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,
此时,直线与圆相切.
当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0.
由题意知=2,
解得k=.
所以直线方程为y-1=(x-3),
即3x-4y-5=0.
综上所述,过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
(2)由题意有=2,
解得a=0或a=.
(3)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为,
∴()2+()2=4,
解得a=-.
12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在求k的值;如果不存在,请说明理由.
解 方法一 (1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,
所以圆心为Q(6,0).
过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2,
代入圆的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,
整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①
直线与圆交于两个不同的点A,B等价于
Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,