单独报考
当前位置:中华考试网 >> 高考 >> 四川高考 >> 四川高考数学模拟题 >> 2015届四川高考数学冲刺专题练习12

2015届四川高考数学冲刺专题练习12

中华考试网  2015-05-05  【

  题型一 直线和圆的位置关系的判断问题

  例1 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则l与C的位置关系为________.

  破题切入点 由于不知道直线l的方程,于是需要求P点与圆C的位置关系.

  答案 相交

  解析 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得

  32+02-4×3=9-12=-3<0,

  ∴点P(3,0)在圆内.

  ∴过点P的直线l一定与圆C相交.

  题型二 弦长问题

  例2 若圆上一点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,则圆的方程是__________________.

  破题切入点 将已知条件转化为直线x+2y=0过圆心,弦长可通过几何法表示.

  答案 (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244

  解析 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,说明圆心在直线x+2y=0上,即有a+2b=0,又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,故r2-2=2,

  依据上述方程,解得或

  所以,所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.

  题型三 直线和圆的综合性问题

  例3 如图所示,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.

  (1)求圆A的方程;

  (2)当=2时,求直线l的方程;

  (3)B·B是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.

  破题切入点 (1)由圆A与直线l1相切易求出圆的半径,进而求出圆A的方程.

  (2)注意直线l的斜率不存在时也符合题意,以防漏解,另外应注意利用几何法,以减小计算量.

  (3)分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论.

  解 (1)设圆A的半径为R.

  ∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,

  ∴R==2.

  ∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.

  (2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;

  当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连结AQ,则AQ⊥MN.

  ∵=2,∴|AQ|==1.

  由==1,得k=.

  ∴直线l的方程为3x-4y+6=0.

  ∴所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.

  (3)∵AQ⊥BP,∴A·B=0.

  ∴B·B=(B+A)·B

  =B·B+A·B=B·B.

  当直线l与x轴垂直时,得P.

  则B=,又B=(1,2),

  ∴B·B=B·B=-5.

  当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2).

  由解得P.

  ∴B=.

  ∴B·B=B·B=-=-5.

  综上所述,B·B是定值,且B·B=-5.

  总结提高 (1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法:一是将直线和圆的方程联立,利用判别式的符号求解根的个数,即为直线和圆的交点个数;二是将圆心到直线的距离d和半径r相比较,当d>r时相离,d=r时相切,d0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为________.

  答案 6

  解析 根据题意,画出示意图,如图所示,

  则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m.

  因为∠APB=90°,连结OP,

  易知|OP|=|AB|=m.

  要求m的最大值,

  即求圆C上的点P到原点O的最大距离.

  因为|OC|==5,

  所以|OP|max=|OC|+r=6,

  即m的最大值为6.

  4.(2014·福建改编)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的________条件.

  答案 充分不必要

  解析 将直线l的方程化为一般式得kx-y+1=0,所以圆O:x2+y2=1的圆心到该直线的距离d=.又弦长为2=,所以S△OAB=··==,解得k=±1.因此可知“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.

  5.直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度为________.

  答案 2

  解析 ∵圆心到直线x+y-2=0的距离

  d==1,半径r=2,

  ∴弦长|AB|=2=2=2.

  6.“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(x-b)2=2相切”的________条件.

  答案 充分不必要

  解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为:=|a-b+2|=2a=b或a-b=-4,故“a=b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

  7.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切,则实数m=________.

  答案 -5或2

  解析 对于圆C1与圆C2的方程,配方得

  圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,

  则C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2.

  如果圆C1与圆C2相外切,那么有C1C2=r1+r2,

  即=5,

  则m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,

  所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2相外切.

  8.已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成的两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为______________.

  答案 x2+2=

  解析 ∵圆C关于y轴对称,

  ∴圆C的圆心在y轴上,可设C(0,b),

  设圆C的半径为r,则圆C的方程为x2+(y-b)2=r2.

  依题意,得解得

  ∴圆C的方程为x2+2=.

  9.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________.

  答案

  解析 圆心为(2,-1),半径r=2.

  圆心到直线的距离d==,

  所以弦长为2=2=.

  10.(2014·山东)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为________________.

  答案 (x-2)2+(y-1)2=4

  解析 设圆C的圆心为(a,b)(b>0),

  由题意得a=2b>0,且a2=()2+b2,

  解得a=2,b=1.

  所以,所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

  11.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.

  (1)求过M点的圆的切线方程;

  (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;

  (3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.

  解 (1)圆心C(1,2),半径为r=2,

  当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.

  由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,

  此时,直线与圆相切.

  当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),

  即kx-y+1-3k=0.

  由题意知=2,

  解得k=.

  所以直线方程为y-1=(x-3),

  即3x-4y-5=0.

  综上所述,过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.

  (2)由题意有=2,

  解得a=0或a=.

  (3)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为,

  ∴()2+()2=4,

  解得a=-.

  12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B.

  (1)求k的取值范围;

  (2)是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在求k的值;如果不存在,请说明理由.

  解 方法一 (1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,

  所以圆心为Q(6,0).

  过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2,

  代入圆的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,

  整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①

  直线与圆交于两个不同的点A,B等价于

  Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,

纠错评论责编:xiejinyan
相关推荐
热点推荐»