题型一 立体几何中的表面积、体积计算
例1 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则三棱锥S—ABC的体积为________.
破题切入点 作出图形，可知三棱锥S-ABC的体积是两个三棱锥之和，通过三角形的边角关系，计算可得所求.
答案
解析 如图，过A作AD垂直SC于D，连结BD.
由于SC是球的直径，所以∠SAC=∠SBC=90°，又∠ASC=∠BSC=30°，又SC为公共边，
所以△SAC≌△SBC.
由于AD⊥SC，所以BD⊥SC.
由此得SC⊥平面ABD.
所以VS—ABC=VS—ABD+VC—ABD=S△ABD·SC.
由于在Rt△SAC中，∠ASC=30°，SC=4，
所以AC=2，SA=2，由于AD==.
同理在Rt△BSC中也有BD==.
又AB=，所以△ABD为正三角形，
所以VS—ABC=S△ABD·SC=××()2·sin 60°×4=.
题型二 立体几何中的长度、距离的计算
例2 已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________.
破题切入点 作出图形，关键是找到球心的位置.
答案
解析 如图，作PM⊥面ABC，设PA=a，则AB=a，CM=a，
PM=a.
设球的半径为R，
所以2+2=R2，
将R=代入上式，
解得a=2，所以d=-=.
总结提高 (1)立体几何中有关表面积体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等.
(2)立体几何中有关长度和距离的求解要准确灵活转化，计算距离时要注意垂直距离如何找到，有时利用等体积的方法.
1.(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________.
答案
解析 如图，设球心为O，半径为r，
则Rt△AOF中，(4-r)2+()2=r2，
解得r=，
所以，该球的表面积为4πr2=4π×()2=π.
2.(2014·福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为________.
答案 2π
解析 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r=1，高h=1，所以侧面积S=2πrh=2π.
3.(2013·辽宁改编)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为________.
答案
解析 因为AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，
将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l= =2R，R=.
4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________.
答案 π
解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1，
∴h==，
∴V=π×1×=π.
5.如图，四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________.
答案 平行
解析 取PD的中点F，连结EF，
在△PCD中，EF綊CD.
又∵AB∥CD且CD=2AB，
∴EF綊AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EB∥AF.
又∵EB平面PAD，AF平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
6.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为________.
答案 (6-3)π
解析 设球O1，O2的半径分别为r1，r2，
由题意知O1A+O1O2+O2C1=，
而O1A=r1，O1O2=r1+r2，O2C1=r2，
∵r1+r1+r2+r2=.∴r1+r2=，
从而S1+S2=4πr+4πr=4π(r+r)
≥4π·=(6-3)π.
7.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为______.
答案
解析 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，∴AC=2.
又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，
平面ADC∩平面AB1C=AC，∴EF∥AC，
∴F为DC的中点，∴EF=AC=.
8.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是________.
答案
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，
由=，
得=，则=.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1=2πr2h2，
即r1h1=r2h2，
所以===.
9.已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________.
答案 3π
解析
如图，构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥A—BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.
易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外接球，所以三棱锥A—BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S球=4π2=3π.
