题型一 由相邻两项关系式求通项公式
例1 已知正项数列{an}满足a1=1，(n+2)a-(n+1)a+anan+1=0，则它的通项公式为________.
破题切入点 对条件因式分解.
答案 an=
解析 由(n+2)a-(n+1)a+anan+1=0，
得[(n+2)an+1-(n+1)an](an+1+an)=0，
又an>0，所以(n+2)an+1=(n+1)an，
即=，an+1=an，
所以an=··…·a1=a1(n≥2)，
所以an=(n=1适合)，
于是所求通项公式为an=.
题型二 已知多项间的递推关系求通项公式
例2 已知数列{an}满足a1=，anan-1=an-1-an，则数列{an}的通项公式为________.
破题切入点 求证{-}为等差数列，再利用累加法求得，便可求得an.
答案 an=
解析 ∵anan-1=an-1-an，∴-=1.
∴=+++…+=2+1+1+…+ =n+1.
∴=n+1，∴an=.
题型三 构造法求通项公式
例3 (1)已知a1=1，an+1=2an+1，求an;
(2)已知a1=1，an+1=，求an.
破题切入点 观察条件，联想学过的数列来构造.
解 (1)由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)，
又a1+1=2≠0，
于是可知{an+1}为以2为首项2为公比的等比数列.
即an+1=2n，∴an=2n-1，
∴所求通项公式为an=2n-1.
(2)由an+1=得-=1(常数)，
又=1，∴{}为1为首项，1为公差的等差数列，
∴=n，从而an=，
即所求通项公式为an=.
总结提高 求数列通项公式常见的方法：
(1)观察法：利用递推关系写出前n项，根据前n项的特点观察，归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明.
(2)利用前n项和与通项的关系an=
(3)在已知数列{an}中，满足an+1-an=f(n)且f(1)+f(2)+…+f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.
(4)在已知数列{an}中，满足=f(n)且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.
(5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).
1.在数列{an}中，a1=1，anan-1=an-1+(-1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是________.
答案
解析 由已知得a2=1+(-1)2=2，
∴a3·a2=a2+(-1)3，∴a3=，
∴a4=+(-1)4，∴a4=3，
∴3a5=3+(-1)5，∴a5=，
∴=×=.
2.学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜.用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a1=300，则a10=________.
答案 300
解析 依题意，得消去bn，
得an+1=an+150.
由a1=300，得a2=300;
由a2=300，得a3=300;
……
从而得a10=300.
3.已知f(x)=log2+1，an=f()+f()+…+f()，n为正整数，则a2 015=________.
答案 2 014
解析 因为f(x)=log2+1，
所以f(x)+f(1-x)=log2+1+log2+1=2.
所以f()+f()=2，
f()+f()=2，…，
f()+f()=2，
由倒序相加，得2an=2(n-1)，an=n-1，
所以a2 015=2 015-1=2 014.
4.在正项数列{an}中，a1=2，an+1=2an+3×5n，则数列{an}的通项公式为________.
答案 an=5n-3×2n-1
解析 在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1，
得=×+，①
令=bn，则①式变为bn+1=bn+，
即bn+1-1=(bn-1)，
所以数列{bn-1}是等比数列，
其首项为b1-1=-1=-，
公比为.
所以bn-1=(-)×()n-1，
即bn=1-×()n-1=，
故an=5n-3×2n-1.
5.数列{an}的前n项和Sn满足2SnSn-1=an(n≥2，n∈N*)，且a1=1，则数列{an}的通项公式为________.
答案 an=
解析 当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
则2SnSn-1=Sn-Sn-1，
即-=-2，
又==1，
故{}是首项为1，公差为-2的等差数列，
则=1+(n-1)(-2)=-2n+3，
所以Sn=.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-
=，
验证a1=1不满足，
故所求通项公式an=
6.设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f(0)=，数列{an}满足f(1)=n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项an=________.
答案
解析 由f(0)=，得a1=，
由f(1)=n2an(n∈N*)，
得Sn=a1+a2+…+an=n2an.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，
整理得=，
所以an=a1×××…×
=××××…×
=，
显然a1=也符合.
即{an}的通项为an=.
7.若f(n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和，如62+1=37，f(6)=3+7=10，f1(n)=f(n)，f2(n)=f(f1(n))，…，fk+1(n)=f(fk(n))，k∈N*，则f2 014(4)=________.
答案 8
解析 因为42+1=17，f(4)=1+7=8，
则f1(4)=f(4)=8，f2(4)=f(f1(4))=f(8)=11，
f3(4)=f(f2(4))=f(11)=5，
f4(4)=f(f3(4))=f(5)=8，…，
所以fk+1(n)=f(fk(n))为周期数列.
可得f2 014(4)=8.
8.数列{an}，{bn}满足an=ln n，bn=，则数列{an·bn}中第________项最大.
答案 3
解析 设函数f(x)=ln x，则f′(x)=，
令f′(x)=0，得x=e.
分析知函数f(x)在(0，e]上是增函数，在[e，+∞)上是减函数，
又f(2)=ln 2=ln 0，
于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①
但<，
所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②
由①②知，a2n-a2n-1>0，因此
a2n-a2n-1=()2n-1=.③
因为{a2n}是递减数列，同理可得a2n+1-a2n<0，
故a2n+1-a2n=-()2n=.④
由③④可知，an+1-an=.
于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+-+…+=1+·
=+·.
故数列{an}的通项公式为an=+·.
