题型一 对函数图象的直接考查
例1 函数y=的图象大致是________.
破题切入点 从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值.
答案 ③
解析 由3x-1≠0得x≠0，∴函数y=的定义域为{x|x≠0}，可排除①;当x=-1时，y==>0，可排除②;当x=2时，y=1，当x=4时，y=，但从④的函数图象可以看出函数在(0，+∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除④.故③符合要求.
题型二 对函数零点的考查
例2 已知函数f(x)满足f(x)=f()，当x∈[1,3]时，f(x)=ln x.若在区间[，3]内，函数g(x)=f(x)-ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________.
破题切入点 求出f(x)在[，3]上的解析式，数形结合解决.
答案 [，)
解析 由题意可知当x在区间[，1]内时，∈[1,3]，f(x)=f()=ln =-ln x，则f(x)=函数g(x)=f(x)-ax与x轴有三个不同的交点，即f(x)-ax=0有三个不同的根，即f(x)=ax有三个不同的根，即函数f(x)的图象与直线y=ax有三个不同的交点，当x在区间[，1)上时，函数f(x)的图象与直线y=ax有一个交点，当x∈[1,3]时，函数f(x)的图象与直线y=ax有两个交点.当直线y=ax过点(3，ln 3)时，a的值满足ln 3=3a，即a=;当直线y=ax与f(x)相切时，设切点为(x0，ln x0)，则点(x0，ln x0)在直线上，故ln x0=ax0，而a=(ln x)′|=，所以ln x0=1，x0=e，即a==，函数f(x)的图象与直线y=ax有三个不同的交点，则a的取值范围是[，).
题型三 综合考查函数图象
例3 已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)·x+ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围.
破题切入点 (1)根据对称性求f(x)的解析式，考查函数图象的对称变换.
(2)求出g(x)的解析式，根据二次函数求字母a的取值范围.
解 (1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点为B′(x′，y′)，则∴
∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′=x′++2.
∴2-y=-x-+2，
∴y=x+，即f(x)=x+.
(2)∵g(x)=x2+ax+1，
又g(x)在[0,2]上为减函数，∴-≥2，即a≤-4.
∴a的取值范围为(-∞，-4].
总结提高 (1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点.
(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法.
(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确.
1.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是________.
答案 (-3,1)∪(3，+∞)
解析
画出分段函数的图象如图，
令f(x)=f(1)，得x=-3,1,3.
所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(-3,1)∪(3，+∞).
2.已知函数y=，将其图象向左平移a(a>0)个单位，再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为________.
答案 1
解析 图象平移后的函数解析式为y=-b，
由题意知-b=0，∴ab=1.
3.(2014·山东改编)已知函数f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx，若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________.
答案 (，1)
解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象，如图所示，当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)=kx过A点时斜率为，故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1).
4.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值为________.
答案 2
解析 由图象知f(3)=1，
∴=1，
∴f()=f(1)=2.
5.(2014·湖北改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若x∈R，f(x-1)≤f(x)，则实数a的取值范围为________.
答案 [-，]
解析 因为当x≥0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)=(a2-x+2a2-x-3a2)=-x;
当a2x的解集为________________.
答案 [-2，-)∪(0，)
解析 依题意，画出y=f(x)与y=x的图象，如图所示，注意到y=f(x)的图象与直线y=x的交点坐标是(，)和(-，-)，结合图象可以求得解集为[-2，-)∪(0，).
7.已知定义在R上的函数f(x)满足：
①函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称;
②对x∈R，f(-x)=f(+x)成立;
③当x∈(-，-]时，f(x)=log2(-3x+1).
则f(2 014)=________.
答案 -2
解析 由①知函数y=f(x)的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由②知函数图象关于直线x=对称，即f(-x)=f(+x)，由奇函数可得f(x)=-f(+x)，据此可推出f(+x)=-f(3+x)，则有f(x)=f(x+3)，故函数以3为周期，因此f(2 014)=f(1)=-f(-1)=-log24=-2.
8.已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a，b](a2a(x-2)+4.
解 (1)b=0，k=f(x)=.
(2)设M(x，y)是曲线y=g(x)上任意一点，由于函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称，所以M(x，y)关于直线y=x的对称点M′(y，x)必在曲线y=f(x)上，所以x=，即y=x2，所以g(x)=x2(x≥0)，于是
g(x)+g(x-2)>2a(x-2)+4
⇔.
①若a≤2，则不等式的解集为{x|x>2};
②若a>2，则不等式的解集为{x|x>a}.
12.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值;
(2)若b<1，g(x)=f(x)-2mx在[2,4]上单调，求m的取值范围.
解 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.
①当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒
②当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒
故a=1或a=-1，b=0或b=3.
(2)∵b<1，∴a=1，b=0，
即f(x)=x2-2x+2，
g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2.
若g(x)在[2,4]上单调，则≤2或≥4，
∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.
故m的取值范围是(-∞，1]∪[log26，+∞).
