题型一 直接考查函数的性质
例1 “a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增”的________条件.
破题切入点 首先找出f(x)在(0，+∞)递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件.
答案 充要
解析 当a=0时，f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0，+∞)上单调递增;
当a<0时，结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0，+∞)上单调递增，如图(1)所示;
当a>0时，结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0，+∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示.
所以，要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0，+∞)上单调递增只需a≤0.
即“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增”的充要条件.
题型二 函数性质与其他知识结合考查
例2 函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得==…=，则n的取值范围为________.
破题切入点 从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图象的关系，进一步判断出结果.
答案 {2,3,4}
解析 过原点作直线与函数y=f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n的取值范围是{2,3,4}.
题型三 对函数性质的综合考查
例3 已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时，求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+在[1，+∞)上单调，求实数a的取值范围.
破题切入点 (1)直接根据f′(x)<0确定单调递减区间.
(2)g(x)在[1，+∞)上单调，则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1，+∞)上恒成立.
解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，+∞)，
当a=-2时，f′(x)=2x-=，
故f(x)的单调递减区间是(0,1).
(2)由题意得g′(x)=2x+-，函数g(x)在[1，+∞)上是单调函数.
①若g(x)为[1，+∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，+∞)上恒成立，
即a≥-2x2在[1，+∞)上恒成立，
设φ(x)=-2x2，
∵φ(x)在[1，+∞)上单调递减，
∴φ(x)max=φ(1)=0，∴a≥0.
②若g(x)为[1，+∞)上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1，+∞)上恒成立，不可能.
∴实数a的取值范围为[0，+∞).
总结提高 (1)函数单调性的等价结论：设x1、x2∈[a，b]则(x1-x2) [f(x1)-f(x2)]>0>0⇔f(x)在[a，b]上递增.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0<0⇔f(x)在[a，b]上递减.
(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)+g(x)也是增函数，-f(x)是减函数，复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则.
(3)求函数的单调性问题还可以求导.
(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称.
(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数.
如f(x)=+，为偶函数，而为奇函数.
(6)求函数的单调性要注意先研究定义域.
1.已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=-a，则f(log3)=________.
答案
解析 由题意，可知函数f(x)为奇函数，
所以f(0)=-a=0，
解得a=，所以当x≥0时，
f(x)=-.
所以f(log32)=-
=-=-.
从而f(log3)=f(-log32)
=-f(log32)=.
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3≤x<-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时，f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 013)=________.
答案 337
解析 ∵f(x+6)=f(x)，∴T=6.
∵当-3≤x<-1时，f(x)=-(x+2)2，
当-1≤x<3时，f(x)=x，
∴f(1)=1，f(2)=2，f(3)=f(-3)=-1，
f(4)=f(-2)=0，f(5)=f(-1)=-1，
f(6)=f(0)=0，
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1，
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)
=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1，
∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1×=335.
而f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)
=f(1)+f(2)+f(3)=2，
∴f(1)+f(2)+…+f(2 013)=335+2=337.
3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2，若对任意的x∈[-2-，2+]，不等式f(x+t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________.
答案 (-∞，-]
解析 设x<0，则-x>0.
f(-x)=(-x)2，
又∵f(x)是奇函数，
∴f(x)=-x2.
∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)=f(x).
∴f(x+t)≤2f(x)=f(x)x+t≤x在[-2-，2+]上恒成立，
∵x+t≤x(-1)x≥t，
要使原不等式恒成立，只需(-1)(-2-)≥t
t≤-即可.
4.(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________.
答案
解析 由题意知a>0，又loga=log2a-1=-log2a.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)=f(-log2a)=f(loga)，
∵f(log2a)+f(loga)≤2f(1)，
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1).
又∵f(x)在[0，+∞)上递增，
∴|log2a|≤1，-1≤log2a≤1，
∴a∈.
5.函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，当x∈(-∞，0)时，f(x)+xf′(x)<0成立，若a=20.2·f(20.2)，b=ln 2·f(ln 2)，c=(log)·f(log)，则a，b，c的大小关系是________.
答案 b>a>c
解析 因为函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，
所以y=f(x)关于y轴对称.
所以函数y=xf(x)为奇函数.
因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)，
所以当x∈(-∞，0)时，[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0，
函数y=xf(x)单调递减，
从而当x∈(0，+∞)时，函数y=xf(x)单调递减.
因为1<20.2<2,0a>c.
6.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x+4)=f(x);
②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1 ③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称. 则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是______________. 答案 f(4.5) 解析 由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x=2对称的函数. 所以f(4.5)=f(4+)=f()， f(7)=f(4+3)=f(3)， f(6.5)=f(4+)=f(). 又f(x)在[0,2]上为增函数. 所以作出其在[0,4]上的图象知 f(4.5) 7.已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x+2)=-f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=log8(x+1)，则f(-2 013)+f(2 014)的值为________. 答案 解析 当x≥0时，有f(x+2)=-f(x)， 故f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x). 由函数f(x)在R上为偶函数， 可得f(-2 013)=f(2 013)， 故f(2 013)=f(4×503+1)=f(1)， f(2 014)=f(4×503+2)=f(2). 而f(1)=log8(1+1)=log82=， f(2)=f(0+2)=-f(0)=-log81=0. 所以f(-2 013)+f(2 014)=. 8.对于任意实数a，b，定义min{a，b}=设函数f(x)=-x+3，g(x)=log2x，则函数h(x)=min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 答案 1 解析 依题意，h(x)= 当02时，h(x)=3-x是减函数， ∴h(x)在x=2时，取得最大值h(2)=1. 9.(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=x2-4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________________. 答案 (-5,0)∪(5，+∞) 解析 由已知得f(0)=0，当x<0时，f(x)=-f(-x)=-x2-4x，因此f(x)= 不等式f(x)>x等价于或， 解得：x>5或-50时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3. (1)证明 方法一 设x10，∴f(Δx)>1， ∴f(x2)=f(x1+Δx)=f(x1)+f(Δx)-1>f(x1)， ∴f(x)是R上的增函数. 方法二 ∵f(0+0)=f(0)+f(0)-1，∴f(0)=1， ∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1， ∴f(-x)=2-f(x).设x10， ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 =f(x2)+2-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1>1， ∴f(x2)-f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)， ∴f(x)是R上的增函数. (2)解 f(4)=f(2)+f(2)-1=5，∴f(2)=3， ∴f(3m2-m-2)<3=f(2). 又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数， ∴3m2-m-2<2，∴-10，判断函数f(x)的单调性; (2)若ab<0，求f(x+1)>f(x)时x的取值范围. 解 (1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x10a(2-2)<0， 3<3，b>0b(3-3)<0， ∴f(x1)-f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数. 当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0， 当a<0，b>0时，x>-， 则x>log1.5; 当a>0，b<0时，x<-，则x0时，x∈(log1.5(-)，+∞); a>0，b<0时，x∈(-∞，log1.5(-)).
