二、填空题
7.如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，则异面直线BC与AE所成角的大小为________.
答案：45° 解题思路：因为BCAD，所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角.
因为平面ABCD平面CEFB，且ECCB，
所以EC平面ABCD.
在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.
在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.
又因为EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.
故异面直线BC与AE所成的角为45°.
8.给出命题：
异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;
两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;
两异面直线a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;
两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.
上述命题中，真命题的序号是________.
答案： 解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题为假命题;若bα，则ab，即a，b共面，这与a，b为异面直线矛盾，故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题为假命题.
9.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为________.
答案：16 命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.
解题思路：设球心到底面的距离为x，则底面边长为，高为x+3，正六棱锥的体积V=×(9-x2)×6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，则V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.
10.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，则三棱锥与球的体积之比为________.
答案： 命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.
解题思路：依题意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·SABC=×R××R×R=R3.而球的体积V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.
三、解答题
11.
如图，四边形ABCD与A′ABB′都是正方形，点E是A′A的中点，A′A平面ABCD.
(1)求证：A′C平面BDE;
(2)求证：平面A′AC平面BDE.
解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直，从而得到平面与平面垂直.
解析：(1)设AC交BD于M，连接ME.
四边形ABCD是正方形，
M为AC的中点.
又 E为A′A的中点，
ME为A′AC的中位线，
ME∥A′C.
又 ME⊂平面BDE，
A′C⊄平面BDE，
A′C∥平面BDE.
(2)∵ 四边形ABCD为正方形， BD⊥AC.
∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
A′A⊥BD.
又AC∩A′A=A， BD⊥平面A′AC.
BD⊂平面BDE，
平面A′AC平面BDE.
