13.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=(2(1))x;当x<4时，f(x)=f(x+1)，则f(2+log23)=________.
解析：∵2<3<4=22，∴1
=f(3+log23)=f(log224)=(2(1))log224=2-log224=2log224(1)=24(1).答案：24(1)
14.设函数y=f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=>K.(x≤K，)取函数f(x)=2-|x|，当K=2(1)时，函数fK(x)的单调递增区间为________.
解析：由f(x)=2-|x|≤2(1)得x≥1或x≤-1，∴fK(x)=，-1
则单调增区间为(-∞，-1].答案：(-∞，-1]
15.函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b=g(a)的图象可以是________.
解析：函数y=2|x|的图象如图.
当a=-4时，0≤b≤4，
当b=4时，-4≤a≤0，答案：②
16.已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求实数a的值.
解：f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2，∵x∈[-1,1]，
(1)当0
∴(a(1)+1)2-2=14，∴a(1)=3，∴a=3(1).
(2)当a>1时，a(1)≤ax≤a，∴当ax=a时，f(x)取得最大值.
∴(a+1)2-2=14，∴a=3.综上可知，实数a的值为3(1)或3.
17.已知函数f(x)=2x-a+1(-2).(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，-1)对称;
(2)若f(x)≥-2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y=-2x-a+1(2)，
P(x，y)关于点M(a，-1)的对称点为P′(2a-x，-2-y).
∴-2-y=-2+2x-a+1(2)=2x-a+1(-2·2x-a)=x-a(-2)=-a+1(-2)，
说明点P′(2a-x，-2-y)也在函数y=2x-a+1(-2)的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，-1)对称.
(2)由f(x)≥-2x得2x-a+1(-2)≥-2x，则2x-a+1(2)≤2x，化为2x-a·2x+2x-2≥0，则有(2x)2+2a·2x-2·2a≥0在x≥a上恒成立.令g(t)=t2+2a·t-2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立.∵g(t)的对称轴在t=0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数.
∴g(2a)≥0.∴(2a)2+(2a)2-2·2a≥0，∴2a(2a-1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0.
18.若f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2·3|x-p2|，x∈R ，p1、p2为常数，且
f(x)=.(x，)(1)求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示);(2)设a，b是两个实数，满足a
解：(1)f(x)=f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3|x-p1|≤2·3|x-p2|⇔3|x-p1|-|x-p2|≤2
⇔|x-p1|-|x-p2|≤log32.(*)若p1=p2，则(*)⇔0≤log32，显然成立;若p1≠p2，记g(x)=|x-p1|-|x-p2|，当p1>p2时，g(x)=p2-p1，x>p1.(-2x+p1+p2，p2≤x≤p1，)
所以g(x)max=p1-p2，故只需p1-p2≤log32.
当p1p2.(2x-p1-p2，p1≤x≤p2;)所以g(x)max=p2-p1，故只需p2-p1≤log32.
综上所述，f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1-p2|≤log32.
(2)证明：分两种情形讨论.
①当|p1-p2|≤log32时，由(1)知f(x)=f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)=f(b)及a
②当|p1-p2|>log32时，不妨设p1log32.于是，当x≤p1时，有f1(x)=3p1-x<3p2-x
当x≥p2时，f1(x)=3x-p1=3p2-p1·3x-p2>3log32·3x-p2=f2(x)，从而f(x)=f2(x).
当p1
显然p1
由①易知f(x)=，x0
综上可知，在区间[a，b]上，f(x)=，x0
故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0-p1)+(b-p2)，由于f(a)=f(b)，即3p1-a=2·3b-p2，得
p1+p2=a+b+log32.②
故由①②得(x0-p1)+(b-p2)=b-2(1)(p1+p2-log32)=2(b-a).
综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为2(b-a).
