12.已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x+2)=-x(1)，若当2
解析：由f(x+2)=-x(1)，可得f(x+4)=f(x)，f(2009.5)=f(502×4+1.5)=f(1.5)=f(-2.5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009.5)=f(2.5)=2(5).答案：2(5)
13.定义在R 上的函数f(x)在(-∞，a]上是增函数，函数y=f(x+a)是偶函数，当x1a，且|x1-a|<|x2-a|时，则f(2a-x1)与f(x2)的大小关系为________.
解析：∵y=f(x+a)为偶函数，∴y=f(x+a)的图象关于y轴对称，∴y=f(x)的图象关于x=a对称.又∵f(x)在(-∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，+∞)上是减函数.当x1a，且|x1-a|<|x2-a|时，有a-x1f(x2).答案：f(2a-x1)>f(x2)
14.已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x+1).若f(a)=-2，则实数a=________.
解析：当x≥0时，f(x)=x(x+1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(-a)=2，∴-a(-a+1)=2，∴a=2(舍)或a=-1.答案：-1
15.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=________.
解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x)，所以f(4-x)=f(x)，因此，函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1
16.已知f(x)是R 上的奇函数，且当x∈(-∞，0)时，f(x)=-xlg(2-x)，求f(x)的解析式.
解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0)，∴f(0)=0.当x>0时，-x<0，由已知f(-x)=xlg(2+x)，∴-f(x)=xlg(2+x)，即f(x)=-xlg(2+x) (x>0).
∴f(x)=.(x<0，)即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R ).
11.已知函数f(x)，当x，y∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数;(2)如果x∈R +，f(x)<0，并且f(1)=-2(1)，试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称.
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=-x，∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0，∴f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0，得f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数.
(2)法一：设x，y∈R +，∵f(x+y)=f(x)+f(y)，∴f(x+y)-f(x)=f(y).
∵x∈R +，f(x)<0，∴f(x+y)-f(x)<0，∴f(x+y)x，∴f(x)在(0，+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数，f(0)=0，∴f(x)在(-∞，+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-2(1)，∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1，f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1，最小值为-3.
法二：设x1R .则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x1>0，∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R 上单调递减.∴f(-2)为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-2(1)，∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1，f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1，最小值为-3.
17.已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x).
(1)求证：f(x)是周期函数;
(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=2(1)x，求使f(x)=-2(1)在[0,2010]上的所有x的个数.
解：(1)证明：∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)当0≤x≤1时，f(x)=2(1)x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f(-x)=2(1)(-x)=-2(1)x.∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-2(1)x，即f(x)=2(1)x.故f(x)=2(1)x(-1≤x≤1)
又设1
又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x)+2]=-[-f(-x)]=-f(x)，∴-f(x)=2(1)(x-2)，∴f(x)=-2(1)(x-2)(1
由f(x)=-2(1)，解得x=-1.∵f(x)是以4为周期的周期函数.故f(x)=-2(1)的所有x=4n-1(n∈Z ).令0≤4n-1≤2010，则4(1)≤n≤5024(3)，又∵n∈Z ，∴1≤n≤502(n∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x使f(x)=-2(1).
