8.(2016·兰州高三实战模拟)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β;②AC与α，β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是________.
答案 ①③
解析 由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.
①中，∵AC⊥β，EFβ，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EFα，
∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确;
②中，由①可知，若BD⊥EF成立，
则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，
而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误;
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，
可知EF⊥AC，由①可知③正确;
④中，仿照②的分析过程可知④错误，
故填①③.
9.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中：
①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成角为60°.
错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上)
答案 ④
解析 ①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1;
②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD;
③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1;
④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误.
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M，则·≥1的概率p=________.
答案
解析 可解得||cos θ≥，也即在上的投影大于或等于.由几何概型的求法知，p==.
11.如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S=________.
答案 10π
解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由已知条件得
解得r=，l=4，S=πrl+πr2=10π.
12.在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=.
(1)求证：BD⊥PC;
(2)求证：MN∥平面PDC;
(3)求二面角A—PC—B的余弦值.
(1)证明 因为△ABC是正三角形，M是AC中点，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC，
又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
PA⊥BD，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
又PC平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)证明 在正三角形ABC中，BM=2，
在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，
所以AD=CD，又∠CDA=120°，所以DM=，
所以BM∶MD=3∶1，在等腰直角三角形PAB中，
PA=AB=4，PB=4，所以BN∶NP=3∶1，
BN∶NP=BM∶MD，所以MN∥PD，
又MN平面PDC，PD平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
(3)解 因为∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
所以AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B(4,0,0)，C(2，2，0)，D(0，，0)，P(0,0,4).
由(1)可知，=(4，-，0)为平面PAC的一个法向量，
=(2,2，-4)，=(4,0，-4)，
设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，
则 即
令z=3，则平面PBC的一个法向量为n=(3，，3)，
设二面角A—PC—B的大小为θ，
则cos θ==.
所以二面角A—PC—B的余弦值为.
